Chapitre 4 - Équations différentielles


I. Fonctions de la variable réelle à valeurs complexes.

• 1. Limites, continuité et dérivabilité.
  • Définition de la limite en un point (ou en l'infini) d'une fonctions définie sur un intervalle I à valeurs dans C: Il y a équivalence entre :
    • (i) lim |f(x)-L|=0
    • (ii) lim Re f(x)=Re L et lim Im f(x)=Im L
    • lorsque c'est le cas, on pose L=lim f(x)
  • Définition de Re f, Im f, |f| (et de la conjugée de f) pour f à valeurs complexes
  • Limite d'un module (d'une fonction à valeurs complexes admettant une limite)
  • Opérations algébriques sur les limites de fonctions à valeurs complexes : sommes, produit, inverse, conjuguaison.
  • Définition de la dérivabilité et de la dérivée en un point d'une fonction f à valeurs dans C (existence et valeur de la limite du taux d'accroissement).
  • f est dérivable en x0 si et seulement si Re f et Im f le sont; dans ce cas Re(f')(x0)=(Re f)'(x0) et Im(f')(x0)=(Im f)'(x0).
  • Opérations algébriques sur les dérivées: somme, produit, inverse, quotient.
  • Composition : Si f est une application de I dans J (I et J intervalles de R) admettant une limite L en x0, et si g est une application de J dans C admettant L' pour limite en L, alors g(f(x)) admet L' pour limite en x0
  • En reprenant les notations du point précédent, si f est dérivable en x0 et g est dérivable en f(x0) alors g°f est dérivable en x0 et (g°f)'(x0)=g'(f(x0))f'(x0).

• 2. Exponentielle complexe.
  • Continuité d'une fonction de la forme exp(f) où f est continue à valeurs complexes.
  • Dérivabilité et dérivée d'une fonction de la forme exp(f), où f est dérivable à valeurs complexes.

II. Généralités sur les équations différentielles.

• Définition d'une équation différentielle.
• Ordre d'une équation différentielle.
• Définition d'un problème de Cauchy d'ordre 1, d'ordre 2.

III. Équations différentielles linéaires d'ordre 1.

Dans tout les paragraphe, on considère une équation différentielle de la forme (E) a(x)y'+b(x)y=c(x), où a, b et c sont trois fonctions continues sur un intervalle I, l'inconnue étant y, x désignant la variable réelle, a ne s'annulant pas.

• 1. Définition
  • Définition d'une équation différentielle linéaire du premier ordre.
  • Équation différentielle linéaire homogène associée : a(x)y'+b(x)y=c
  • Définition d'un problème de Cauchy linéaire du premier ordre.

• 2. Équations différentielles linéaires homogène du premier ordre
  • Description de l'ensemble des solutions.

• 3. Structure de l'ensemble des solutions d'une équation différentielle linéaire du premier ordre
  • Si yP est une solution particulière de E, et yH une solution non nulle de l'équation homogène associée, alors yH ne s'annule pas, et la solution générale de E est y=A yH + yP, où A est une constante décrivant le corps K (R ou C).

• 4. Recherche de solution particulière à une équation différentielle linéaire non homogène
  • Méthode de variation de la constante.

• 5. Problèmes de Cauchy
  • Existence et unicité d'une solution à un problème de Cauchy homogène (et expression exacte de la solution).
  • Existence et unicité d'une solution à un problème de Cauchy quelconque.

IV. Équations différentielles linéaires d'ordre 2 à coefficients constants.

Dans ce paragraphe, a, b et c désignent des éléments de K (R ou C, et a est non nul), et d une fonction de I (intervalle de R) à valeurs dans K. On considère l'équation a y'' + b y' + c y = d(x), ainsi que l'équation homogène ay''+by'+cy=0

• 1. Solutions de l'équations homogènes dans C
  • Recherche de solutions particulières de l'équation homogène, de la forme x-> exp(r x).
  • Équation (ou trinôme) caractéristique associée.
  • Description de l'ensemble des solutions d'une l'équation homogène.

• 2. Solutions dans R
  • Description de l'ensemble des solutions réelles d'une équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants réels, selon le signe du discriminant de l'équation caractéristique.
  • Cas particuliers : solutions de y''+w²y=0 (à l'aide des fonctions sin et cos) et de y''-a²y=0 (à l'aide des fonctions ch et sh).

• 3. Recherche d'une solution particulières pour un second-membre de type polynôme-exponentielle.
  • Recherche d'une solution particulière de l'équation ay"+by'+cy=P(x)exp(hx), où P est un polynôme de degré n, sous la forme Q(x)exp(hx), où Q est un polynôme de degré n+m où m=0,1,2, est le degré de multiplicité de h comme racine de l'équation caractéristique.
  • Lorsque l'équation est à coefficients réels, si y vérifie ay''+by'+c=d(x), alors z=Re y vérifie az''+bz'+cz=Re(d(x)).
  • Recherche d'une solution particulière réelle pour un second membre de la forme P(x)exp(m x)[A cos(k x)+ B sin(k x)].

• 4. Principe de superposition
  • Si d=d_1+d_2, que y_1 est solution de ay''+by'+cy=d_1, y_2 solution de ay''+by'+cy=d_2, alors y_1+y_2 est solution de ay''+by'+cy=d.

• 5. Problèmes de Cauchy
  • Forme de la solution générale (solution particulière + solution générale de l'équation homogène)
  • Existence et unicité d'une solution à un problème de Cauchy dans le cadre des hypothèses précédentes.
  • Si les données sont toutes réelles, la solution est réelle.

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