I. Rappel et compléments sur la continuité et la dérivabilité
Dans tout ce paragraphe, I désigne un intervalle de R non vide et non réduit à un point.
La notion de limite est momentanément supposée connue (on se contentera, pour cette notion et dans ce chapitre uniquement, de son approche vue dans le secondaire). Toutes les notions signalées comme provisoirement admises seront démontrées dans les chapitres ultérieurs sur la continuité et la dérivabilité.
- 1. Continuité
- Les résultats de ce paragraphe sont provisoirement admis, en attendant le chapitre sur la continuité qui aura lieu en janvier
- Définition de la continuité en un point (une fonction est continue en x0 si f(x) admet f(x0) pour limite lorsque x tend vers x0).
- Opérations sur les fonctions continues en un point (somme, produit par un scalaire, produit).
- Composition de deux fonctions continues en un point.
- Opérations correspondantes sur les limites.
- Théorème de la bijection : Si I=]a,b[ (intervalle), et f une application de I dans R, continue, strictement croissante, telle que f admet en a et en b respectivement les limites c et d, alors f est une bijection de I sur ]c,d[. Résultat analogue en fermant une borne (ou les deux).
- 2. Dérivabilité
- Définition de la dérivabilité en un point.
- Opération : dérivabilité et dérivée d'une somme de deux fonctions, d'un produit d'une fonction par un réel, d'un produit de deux fonctions.
- Dérivabilité et dérivée d'une composée de deux fonctions (résultat provisoirement admis).
- Une fonction à dérivée strictement positive sur un intervalle est strictement croissante (résultat analogue pour la décroissance stricte)
- Une fonction est constante sur un intervalle si et seulement si elle est dérivable de dérivée nulle (résultat provisoirement admis).
- Définition d'une primitive.
- Toute fonction continue admet des primitives (résultat provisoirement admis).
- Si f est une fonction définie sur un intervalle I et admettant une primitive F0, alors l'ensemble des primitives de f est exactement l'ensemble des fonctions de la forme F0+c, où c décrit R.
- 3. fonctions de classe C¹
- Définition.
- Opérations sur les fonctions de classe C¹: addition, multiplication par un réel, multiplication, composition.
- Définition d'un C¹-difféomorphisme.
- Théorème du difféomorphisme. Une application C¹ sur un intervalle, à valeurs réelles et dont la dérivée ne s'annule pas induit un C¹-difféomorphisme sur son image (provisoirement admis).
- Définition d'un homéomorphisme.
- Théorème de la bijection (raffiné): Une application continue sur un intervalle, à valeurs réelles et strictement monotone, induit un homéomorphisme sur son image (provisoirement admis).
II. Exponentielles, puissances et logarithmes
- 1. Logarithme népérien
- Définition (primitive sur ]0,+oo[ de x-> 1/x s'annulant en 1).
- Notation ln.
- Dérivée, valeur en 1.
- Propriété fondamentale (logarithme d'un produit).
- Logarithme d'une puissance (entière)
- Énoncé du théorème de la limite monotone pour une fonction.
- Limites de ln aux bornes de l'intervalle de définition. (Démonstration à l'aide du théorème de la limite monotone)
- Limite lorsque x tend vers l'infini de (ln x)/x.
- Limite en 0 de x ln x.
- Limites de x^a (ln x)^b en 0 et en l'infini.
- 2. Exponentielle
- Définition de l'exponentielle (bijection réciproque de ln).
- Dérivée.
- Propriétés usuelles.
- Limites aux bornes de l'intervalle de définition.
- Limite de |x|^a (exp x)^b aux bornes de R.
- Notation e^x (justifiée pour x entier)
- Courbe représentative.
- 3. Exponentielle de base a
- Définition de a^b pour a>0 (a^b=exp(b ln a)).
- La fonction x-> a^x est l'unique fonction f définie sur R, à valeurs strictement positives, dérivable, vérifiant l'équation fonctionnelle f(x+y)=f(x)f(y) et telle que f(1)=a.
- Dérivée, limites aux bornes (selon la position de a par rapport à 1).
- Courbes représentatives selon la position de a par rapport à 1.
- 4. Fonctions puissance
- Définition (fonction x->x^a, a réel constant non nul).
- Domaine de définition (selon que a entier naturel, a entier négatif, a réel non entier).
- Limites aux bornes du domaine de définition selon les valeurs de a.
- Dérivabilité et dérivée (démonstration différentes selon les différents cas).
- Représentations graphiques.
- 5. Logarithmes de base a
- Définition (bijection réciproque de x->a^x).
- Propriétés (log_a(a)=1, log_a(AB)=log_a(A)+log_a(B))
- Dérivée, étude et représentation graphique selon que a<1 ou a>1.
III. Trigonométrie hyperbolique
- 1. Parties paire et impaire d'une fonction
- Si I est un intervalle de symétrique par rapport à 0, toute fonction définie sur I se décompose de manière unique comme somme d'une fonction paire et d'une fonction impaire.
- 2. Fonctions cosinus hyperbolique et sinus hyperbolique
- Définition des fonctions ch et sh. Expressions.
- Parité.
- Relation ch²-sh²=1.
- Dérivées.
- Limites aux bornes.
- Représentations graphiques.
- La seule formule exigible a priori des étudiants concernant la trigonométrie hyperbolique est ch²-sh²=1. Le reste du formulaire de trigonométrie hyperbolique n'est pas exigible (mais peut constituer des sujets d'exercices).
- 3. Tangente hyperbolique
- Définition. Notation th(x).
- Imparité.
- Dérivée : th'=1-th²=1/ch².
- Asymptotes du graphe.
- Représentation graphique.
IV. Fonctions hyperboliques réciproques
- 1. Fonction Argsh
- Définition (difféomorphisme récriproque sur R de sh).
- Imparité, caractère C¹.
- Formules Argsh(sh x)=x, sh(Argsh y)=y, ch(Argsh y)=racine(1+y²).
- Dérivée.
- L'expression de Argsh l'aide du logarithme n'est pas officiellement au programme, mais sera faite en exercice.
- 2. Fonction Argch
- Définition (homéomorphisme réciproque sur [1,+oo[ de la restriction de ch à R+).
- Continuité, monotonie.
- Formule ch(Argch y)=y (dès que le membre de gauche a un sens), Argch(ch x)=x (uniquement si x>0)
- Formule Argch(ch x)=|x|
- Limites en l'infini de (Argsh y)/y, de (Argch y)/y.
- Formule sh(Argch y)=racine(y²-1)
- La restriction de ch à l'intervalle ouvert ]0,+oo[ réalise un difféomorphisme sur ]0,+oo[
- Caractère C¹ de Argch sur l'intervalle ouvert ]1,+oo[, et expression de la dérivée.
- Représentations graphiques de Argch et de Argsh.
- L'expression de Argch l'aide du logarithme n'est pas officiellement au programme, mais sera faite en exercice.
- 3. Fonction Argth
- Définition (difféomorphisme réciproque de th).
- Caractère C¹.
- imparité.
- Expression de la dérivée.
- Représentation graphique.
- L'expression de Argth l'aide du logarithme n'est pas officiellement au programme, mais sera faite en exercice.
V. Trigonométrie classique
- 1. cosinus & sinus.
- Rappels.
- Réduction de l'intervalle d'étude à [0, pi/2]
- Représentation graphique.
- Revue du formulaire de trigonométrie (liens entre les différentes formules).
- 2. tangente et cotangente
- Ensembles de définition.
- Périodicité.
- Formule tan x cot x=1 là où le membre de gauche est définition.
- Formule cot(pi/2-x)=tan x.
- Expression des dérivées.
- Tableaux de valeurs.
- Représentations graphiques.
VI. Fonctions trigonométriques réciproques
- 1. Fonction Arcsin
- Définition (homéomorsphisme récriproque défini sur [-1,1] de la restriction de sin à [-pi/2,pi/2]).
- Imparité, caractère C¹ sur l'intérieur.
- Formules Arcsin(sin x)=x pour x€[-pi/2,pi/2], sin(Arcsin y)=y pour y€[-1,1], cos(Argsin y)=racine(1-y²).
- Dérivée.
- 2. Fonction Arccos
- Définition (homéomorphisme réciproque sur [-1,1] de la restriction de cos à [0,pi]).
- Continuité, monotonie.
- Formule cos(Arccos y)=y (dès que le membre de gauche a un sens), Argch(ch x)=x (uniquement si x>0)
- Formule Argcos(cos x)=x (pour x€[0,pi])
- Formule sin(Arccos y)=racine(1-y²) pour y€[-1,1].
- La restriction de ch à l'intervalle ouvert ]0,pi[ réalise un difféomorphisme sur ]-1,1[
- Caractère C¹ de Argch sur l'intervalle ouvert ]-1,1[, et expression de la dérivée.
- Représentations graphiques de Arccos et de Arcsin.
- Arccos + Arcsin = pi/2
- 3. Fonction Arctan
- Définition (difféomorphisme réciproque de la restriction à ]-pi/2,pi/2[ de tan).
- Caractère C¹.
- imparité.
- Expression de la dérivée.
- Représentation graphique.