Chapitre 28 - Propriétés métriques de courbes

Dans tout le chapitre, E désigne un plan euclidien orienté, (i,j) une base orthonormale directe de E fixée, permettant d'indentifier E à R² euclidien orienté canonique. On considère des arcs paramétrés définis en général sur un segment de R, à valeurs dans E, de classe C^k pour k≥1 (aussi grand que nécessaire)

I. Changement de paramétrage

• 1. C^k-difféomorphismes
  • Définition d'un C^k-difféomorphisme entre deux intervalles de R (k entier ≥1 ou k=oo).
  • Caractérisation des C^k-difféomorphismes entre intervalles de R : une bijection entre deux intervalles de R, de classe C^k, est un C^k-difféomorphisme ssi sa dérivée ne s'annule pas.

• 2. Changement de paramétrage
  • Changement de paramétrage admissible : C^k-difféo entre intervalle de R
  • Un arc est obtenue à partir d'un arc par changement de paramétrage admissible s'il existe un C^k-difféomorphisme tel que .
  • La relation définie ci-dessus entre arc est une relation d'équivalence : on dira que et sont C^k-équivalence.
  • Invariance par arcs C^k-équivalent (ie par changement de paramétrage admissible) des notions suivantes :
    • le support de l'arc
    • la notion de point double
    • les points stationnaires
    • les points biréguliers.

• 3. Abscisse curviligne
  • Définition d'une abcsisse curviligne.
  • Lorsqu'un arc est régulier, l'asbcisse curviligne est un changement de paramétrage admissible. Après ce changement de paramétrage, le nouvel arc a une dérivée de norme 1 en tout paramètre. Un tel paramétrage est dit "paramétrage par une abscisse curviligne".
  • Dans toute la suite du cours, les arcs sont supposés réguliers.

• 4. Longueur d'un arc
  • Définition
  • Invariance par changement de paramétrage admissible.

II. Quantifier comme "tourne" une courbe

• 1. Repère de Frenet
  • Définition du repère de Frenet (T,N) d'une courbe.

• 2. Angle polaire
  • Théorème de relèvement : Si T est de classe C^{k-1} pour k≥2, et telle que ||T||=1, alors il existe une fonction de classe C^{k-1} telle que
  • Angle polaire ().

• 3. Courbure
  • Définition : où s est l'abcisse curviligne.
  • Relation de Frenet .
  • Pour tout paramétrage d'un arc , on a
    • Cas des courbes paramétrées en coordonnées cartésienne.
    • Cas des courbes paramétrées en coordonnées polaires sous la forme .
  • Caractérisation des points biréguliers.
  • Définition d'un arc birégulier.
  • Lorsqu'un arc est birégulier, l'angle polaire est un paramétrage admissible. Dans ce cas,

• 4. Vitesse et accélération dans le repère de Frenet
  • À faire

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