K est un corps (sous-corps de C dès que cela s'avère nécessaire), n un entier ≥2, et E un K-espace vectoriel de dimension n.
Bien que ce cours porte souvent sur des déterminants de taille n×n, le programme de PCSI se restreint aux déterminant 2×2 et 3×3 : les exercices posés en colles doivent donc être avec n≤3 (sauf pour aller plus loin, en cas de réussite déjà prouvé en petite dimension)
I. Déterminant d'une famille de n vecteurs
- 1. Formes n-linéaires alternées
- Définition d'une application n-linéaire E^n→F. D'une forme n-linéaire.
- Définition d'une application n-linéaire alternée. D'une application linéaire antisymétrique.
- Les applications n-linéaires alternées sont les applications n-linéaires antisymétriques.
- 2. Déterminants
- Théorème (admis) : Si B est une base donnée de E, il existe une unique forme n-linéaire alternée valant 1 en B: c'est par définition le déterminant relativement à la base B.
- Déterminant en dimension 2 (expression à l'aide des coordonnées).
- Déterminant en dimension 3 (expression à l'aide des coordonnées: règle dite de Sarrus).
- Développement par rapport à la première colonne.
- Développement par rapport à une colonne quelconque.
- Un déterminant d'une famille de vecteurs est nul si et seulement si la famille est liée.
- Si B et B' sont deux bases, det_B'(F)=det_B'(B)×det_B(F) pour toute famille F de n vecteurs de E.
II. Déterminant d'un système linéaire
- Définition du déterminant d'un système n×n.
- Caractérisation des système de Cramer à l'aide du déterminant.
- Formules de Cramer donnant l'expression de la solution d'un système linéaire à l'aide de déterminant.
III. Déterminant d'un endomorphisme
- L'ensemble des formes n-linéaires alternées sur E^n est une droite vectorielle (résultat prouvé comme conséquence du théorème admis en I.2.
- Théorème-définition : si u est un endomorphisme d'un K-ev E de dimension n, il existe un unique scalaire
tel que pour toute base B de E et toute famille F de n vecteurs de E,
. Ce scalaire est appelé déterminant de u. On a de plus, pour toute base B de E,
- Caractérisation des automorphismes de E parmi les endomorphismes de E à l'aide du déterminant.
- Déterminant de l'application identité.
- Déterminant d'une composée d'endomorphismes.
- Déterminant d'un multiple scalaire d'un endomorphisme.
IV. Déterminant d'une matrice carrée
- Définition du déterminant d'une matrice carrée (déterminant dans la base canonique de K^n de la famille des vecteurs colonnes).
- Expressions pour une matrice 2×2 et 3×3.
- Si M est la matrice d'un endomorphisme u dans une base B, det(M)=det u.
- Déterminant et opérations élémentaires sur les colonnes.
- Caractérisation des matrices inversibles à l'aide du déterminant.
- Déterminant de la matrice identité.
- Déterminant d'un produit de matrices.
- Déterminant d'un multiple scalaire d'une matrice.
- Déterminant d'une transposée (admis pour n≥4)
- Déterminant et opérations élémentaires sur les lignes.
- Développement d'un déterminant par rapport à une ligne.