Dans tout le chapitre I désigne un intervalle de R, K=R ou C, f une fonction de I dans K, n un entier naturel, x0 un élément de I.
I. Définitions et règles générales
- 1. Définition
- Définition de la phrase : "f admet en x0 un développement limité à l'ordre n"
- Unicité du développement limité. Partie principale. Reste.
- Notation :
-
,
-
-
- 2. Développement limité en 0
- Correspondance entre développement limité de f en x0 à l'ordre n et développement limité en 0 à l'ordre n de h->f(x0+h).
- 3. Développement limité et équivalent
- Si f admet au voisinage de
un développement limité de la forme
où P est un polynôme de valuation n_0 (et de coefficient correspondant a_0), alors au voisinage de x_0,
.
- Si f admet au voisinage de
- 4. Troncature d'un développement limité
- Obtention d'un développement limité d'ordre inférieur en tronquant un développement limité (connu).
- 5. Développement limité à l'ordre 0, à l'ordre 1
- Lien entre existence d'un développement limité à l'ordre 0 en x0 et continuité de f en x0.
- Lien entre existence d'un développement limité à l'ordre 1 en x0 et dérivabilité de f en x0.
II. Opérations sur les développements limités
- 1. Combinaisons linéaires
- Développement limités d'une combinaison linéaire de fonctions (dont on connaît les développement limités aux même point et au même ordre).
- 2. Produit de développement limité
- Développement limité d'un produit.
- 3. Composition
- Substitution : si
et
, alors
.
- Application au calcul d'un développement limité d'une composée (résultat théorique associé non exigible).
- Application au calcul d'un développement limité d'un inverse.
- Substitution : si
- 4. Intégration et dérivation d'un développement limité
- Si (tout cela étant au voisinage de 0)
, alors
- Intégration d'un développement limité.
- Formule de Taylor Young pour une fonction de classe C^{n-1} sur I, et n fois dérivable en x_0.
- L'existence d'un développement limité d'une fonction f dérivable à l'ordre ne garantit pas l'existence d'un développement limité de f' à l'ordre n-1 (contre-exemple explicité :
au voisinage de 0)
- Calcul des coefficients du développement limité d'une dérivée f' (si l'existence d'un tel développement est par ailleurs assurée, par exemple grâce au théorème de Taylor-Young), par dérivation formelle terme à terme des coefficients du développement limité de f.
- Si (tout cela étant au voisinage de 0)
- 5. Développement limité en 0 et parité
- Si f est paire (resp: impaire), les termes d'ordre impairs (resp: pair) de la partie principale du développement limité de f en 0 (si celui-ci existe) sont nuls.
III. Développements limités de référence
- 1. Autour du développement limité de 1/(1-x)
- Développement limité à l'ordre n de 1/(1-x) au voisinage de 0.
- Développement limité à l'ordre n de 1/(1+x) au voisinage de 0.
- Développement limité à l'ordre 2p de 1/(1+x²) au voisinage de 0.
- Développement limité à l'ordre 2p de 1/(1-x²) au voisinage de 0.
- Développement limité à l'ordre n de ln(1+x) au voisinage de 0.
- Développement limité à l'ordre 2p+1 de Arctan(x) au voisinage de 0.
- Développement limité à l'ordre 2p+1 de Argth(x) au voisinage de 0.
- 2. Autour du développement limité de exp
- Développement limité à l'ordre n de e^x au voisinage de 0.
- Développement limité à l'ordre n de exp(ix) au voisinage de 0.
- Développement limité à l'ordre 2p de cos x au voisinage de 0.
- Développement limité à l'ordre 2p+1 de sin x au voisinage de 0.
- Développement limité à l'ordre 2p de ch x au voisinage de 0.
- Développement limité à l'ordre 2p+1 de sh x au voisinage de 0.
- 3. Autour du développement limité de (1+x)^a
- Développement limité à l'ordre n de (1+x)^a au voisinage de 0.
- Cas où a est entier positif (cas particulier de la formule du binôme de Newton)
- Cas où a=-1 (on retrouve le DL connu de de 1/(1+x))
- Cas où a=1/2 (expression du terme général du DL à l'aide de factorielles) Résultat non exigible/
- Cas où a=-1/2 (...) Résultat non exigible
- Développement limité en 0 de Arcsin x, Arccos x. Résultat non exigible