I. Opération sur les matrices
- 1. Définition
- Définition d'une matrice à n lignes et p colonnes à coefficients dans un corps K.
- Ensemble M_{n,p}(K)
- 2. Structure d'espace vectoriel
- Opérations + et . munissant M_{n,p}(K) d'une structure de K-espace vectoriel.
- 3. Produit
- Définition du produit matriciel : M_{n,p}(K)×M_{p,q}(K)→M_{n,q}(K).
- Bilinéarité du produit.
- Associativité du produit (de matrices rectangulaires multipliables).
- 4. Transposée
- Définition de la transposée d'une matrice.
- Linéarité de la transposition.
- Involutivité de la transposition.
- Transposée d'un produit.
- 5. Matrices carrées
- Définition d'une matrice carrée. Notation M_n(K).
- Structure d'anneau de M_n(K) (non commutatif et non intègre).
- Matrice I_n.
- Groupe GL_n(K) des matrices inversibles.
- 6. Trace
- Paragraphe hors programme sup, mais seulement au programme en spé (traité uniquement par commodité) : les élèves ne doivent pas a priori être interrogés dessus
- Trace d'une matrice carrée.
- Linéarité de la trace.
- Trace d'une transposée.
- Tr(AB)=Tr(BA) pour A dans M_{n,p}(K) et B dans M_{p,n}(K).
- Tr(PAP^{-1})=Tr(A) pour A carrée et P inversible dans M_n(K).
- 7. Vocabulaire
- Coefficients diagonaux d'une matrice carrée.
- Matrice diagonale.
- Structure de sev et de sous-anneau commutatif de l'ensemble D_n(K) des matrices diagonales. Produit de matrices diagonale.
- Matrice carrée triangulaire (ou triangulaire supérieure), triangulaire supérieure stricte, triangulaire inférieure.
- Structure de sev et de sous-anneau de l'ensemble T_n(K) des matrices triangulaire. Coefficients diagonaux du produit de matrice triangulaires.
- 8. Matrice (anti-)symétriques.
- Définition d'une matrice symétrique, d'une matrices anti-symétrique.
- Notations S_n(K) et A_n(K) pour l'ensembles des matrices symétriques (et antisymétriques).
- S_n(K) et A_n(K) forment deux sev supplémentaires de M_n(K)?
- 9. Vecteurs colonnes
- Identification fréquente entre vecteurs de K^n et matrices à une colonne et n lignes.
- 10. Base canonique de Mnp(K)
- Définition des matrices
- Base canonique de l'espace vectoriel des matrices (de taille fixée).
- Produit de deux matrices de la base canonique.
- Définition des matrices
II. Matrices et applications linéaires
- 1. Matrices d'une application linéaire
- Matrice n×p d'une application linéaire d'un espace E de dimension p dans un K-espace vectoriel F de dimension n, relativement à deux bases B et C fixées. Notations M_{B,C}(u) ou Mat_{B,C}(u)
- Étant fixées une base B de E et une base C de E, l'application u→Mat_{B,C}(u) est un isomorphisme d'espaces vectoriels de L(E,F) sur M_{n,p}(K).
- Si x est un élément de E de matrice-colonne dans B X, et M est la matrice de u relativement aux bases B et C, alors Mat(u(x))_C=MX.
- Si E, F, G sont trois K-ev, u:E→F et v:F→G linéaires, B, C et D des bases respectives de E, F et G, alors Mat_{B,D}(v o u)=Mat_{C,D}(v)Mat_{B,C}(u).
- 2. Matrices d'endomorphisme
- Matrice d'un endomorphisme d'un espace E de dimension n, relativement à une base B.
- Matrice de l'application identité.
- Réécriture des résultats du paragraphe précédent dans le cas d'endomorphismes
- Si u est un endomorphisme de E, et M sa matrice dans une base B, u est inversible si, et seulement si, M est inversible. Alors u^{-1} a pour matrice M^{-1} dans B.
- 3. Matrice d'une famille de vecteurs, matrices de passage
- Matrice d'une famille de p vecteurs relativement à une base B d'un K-espace vectoriel de dimension n.
- Si B est une base de E (de dimension n), Une famille F de n vecteurs de E est une base si, et seulement si Mat_{B}(F) est inversible.
- Matrice de passage de B à B' (où B et B' sont deux bases de E).
- La matrice de passage de B à B' est la matrice de Id_E relativement aux bases B' et B.
- Si M est la matrice de u relativement à des bases B et C, et x a pour matrice X dans la base B, alors u(x) a pour matrice MX dans la base C.
- Formule de changement de base pour un vecteur : si x dans E a pour matrice respectivement X et X' dans des bases B et B', et P est la matrice de passage de B à B', alors X=PX'.
- Formule de changement de base pour une application linéaire.
III. Opérations élémentaires sur les lignes et les colonnes
- 1. Transvection
- Matrice de transvection
où
- Multiplier à gauche une matrice M par la matrice
revient à faire l'opération sur les lignes de M
- Multiplier à droite une matrice M par la matrice
- Inversibilité et inverse d'une matrice de transvection.
- Matrice de transvection
- 2. Dilatation
- Matrice de dilatation
,
- Multiplier à gauche une matrice M par la matrice
revient à faire l'opération sur les lignes de M
- Multiplier à droite une matrice M par la matrice
- Inversibilité et inverse d'une matrice de transvection.
- Matrice de dilatation
- 3. Transposition
- Matrice de transposition
où
- Multiplier à gauche une matrice M par la matrice
revient à faire l'opération sur les lignes de M
- Multiplier à droite une matrice M par la matrice
- Inversibilité et inverse d'une matrice de transvection.
- Matrice de transposition
- 4. Algorithme du pivot de Gauss sur les matrices
- Définition (à géométrie variable selon les conventions) d'une matrice échelonnée sur les lignes (resp: les colonnes). Les élèves doivent savoir identifier si une matrice donnée est échelonnée - ou pas - sur les lignes et/ou les colonnes, mais la définition formelle n'est pas exigible.
- Description de l'algorithme du pivot de Gauss, dans l'objectif d'obtenir à partir d'une matrice quelconque, à partir d'un nombre fini d'opérations élémentaires, une matrice échelonnée.
- Mise en œuvre de l'algorithme du pivot de Gauss pour le calcul de l'inverse d'une matrice carrée inversible.
IV. Rang d'une matrice
- 1. Définition
- Rang d'une matrice (rang de ses vecteurs colonnes)
- Lien entre rang d'une application linéaire et rang de l'une de ses matrices.
- rg(A)≤min(n,p).
- 2. Propriétés
- Conservation du rang par multiplication à gauche (resp: à droite) par une matrice inversible.
- Si A est carrée n ×n, rg(A)=n ssi A est inversible.
- 3. Calcul du rang d'une matrices par opération élémentaires
- À l'aide de l'algorithme de Gauss, une succession d'opérations élémentaires bien choisies transforme une matrice A de rang r en la matrice J_r (matrice ayant r 1 en début de diagonale, et des zéros ailleurs).
- A=PJ_rQ où P et Q sont carrées inversibles, et r=rg(A).
- Rang d'une transposée.
V. Systèmes linéaires
- Définition d'un système linéaire (ou système affine) de n équations à p inconnues à coefficients dans K.
- Interprétation matricielle.
- Interprétation à l'aide de vecteurs (colonnes) de K^n.
- Interprétation à l'aide de formes linéaires sur K^p
- Définition d'un système homogène. Système homogène associé.
- Rang d'un système.
- Rang d'un système échelonné sur les lignes.
- Description de l'ensemble des solutions.
- Cas des systèmes carrés.
- Systèmes de Cramer.
- Résolution par la méthode du pivot de Gauss (y compris d'un système non inversible).