Chapitre 20 - Polynômes

Dans tout le chapitre, K désigne un corps. Le programme officiel suppose K=R ou C.

I. Généralités

• 1. Définition
  • Définition (admise) : Il existe un ensemble E, muni de deux lois internes + et ×, ainsi que d'une application . K×E→E telle que
    • (E,+,×) est un anneau.
    • (E,+, .) est un K-espace vectoriel.
    • × est bilinéaire (la structure de K-algèbre est hors-programme)
    • il existe un élément, noté X (et appelée indéterminée), tel que tout élément de E s'écrit de manière unique comme combinaison linéaire des puissances de X. (Un tel élément est unique).
    • Un tel quadruplet (E,+,×,.) existe et est unique (dans un certain sens qu'on ne précisera pas).
    • On note E=K[X], qu'on appelle anneau des polynômes à une indéterminée à coefficients dans K.
  • Aucune question ne doit être posée sur la construction
  • Notation (le nombre de terme non nuls d'une telle somme étant fini)
  • Degré d'un polynôme. Par convention,
  • Valuation d'un polynôme. Par convention,

• 2. Degré et opérations
  • Produit de deux polynômes (expression du coefficient d'ordre n d'un produit PQ à l'aide des coefficients de P et de Q).
  • Degré et valuation d'un produit.
  • Définition du coefficient dominant. Coefficient dominant d'un produit.
  • L'anneau K[X] est intègre.
  • Degré et valuation d'une somme.

• 3. Espace vectoriel K_d[X]
  • Espace vectoriel K_d[X] des polynômes à coefficient dans K de degré inférieur ou égal à d.
  • Base canonique de K_d[X]. Dimension de K_d[X].

• 4. Composition
  • Définition du composé P(Q) de deux polynômes.
  • Degré d'un composé.
  • Relation P=P(X) prendre garde au fait qu'il s'agit d'une vraie propriété, et non d'une notation

• 5. Vocabulaire
  • Polynômes constants. Identification de K_0[X] à K.
  • Polynômes unitaires.
  • Monôme.

II. Arithmétique des polynômes

• 1. Divisibilité
  • Définition de la relation de divisibilité sur K[X].
  • Réfléxivité. Transitivité.
  • Antisymétrie sur l'ensemble des polynômes unitaires.

• 2. Division euclidienne.
  • Théorème-définition (division euclidienne dans K[X], existence et unicité).
  • Exemple.
  • Seul 0 est diviseurs du polynôme nul.
  • 0 est multiple de tout polynôme.
  • P divise Q si, et seulement si, le reste de la division euclidienne de Q par P est nul.

• 3. Polynômes irréductibles
  • Définition (pour un polynôme non constant) d'un polynôme réductible. D'un polynôme irréductible.
  • Existence et unicité (à l'ordre près) de la décomposition d'un polynôme en produit d'irréductibles.

III. Fonctions polynomiales

Désormais, K est un corps de caractéristique nulle (ce qui est bien le cas de R ou de C), donc infini.

• 1. Polynôme dérivé.
  • Définition du polynôme P' dérivé de P.
  • Dérivation et opérations sur les polynômes (linéarité, produit, composition)

• 2. Fonctions polynomiales
  • Définition de la fonction polynomiale associée au polynôme .
  • Définition d'une fonction polynomiale.
  • Comportement de l'application qui à un polynôme associe sa fonction polynomiale vis-a-vis des applications préalablement définies sur les polynômes (linéarité, dérivation, produit, composition).

• 3. Racines d'un polynômes
  • Définition.
  • Si et , alors le reste de la division euclidienne de par est .
  • est racine de P si, et seulement si,
  • Un polynome non nul ayant n racines dictincte se factorise par
  • Un polynôme de degré n ayant au moins n+1 racines est le polynôme nul.
  • Un polynôme (de degré non précisé) ayant une infinité de racines est le polynôme nul.
  • Isomorphisme de K[X] sur l'espace des fonctions polynomiales sur K.
  • Mention de l'abus usuel consistant à noter de la même manière un polynôme et sa fonction polynomiale associée.

• 4. Formules de Taylor et racine multiple
  • Définition de l'ordre de multiplicité d'une racine d'un polynôme.
  • Formule de Taylor.
  • Caractérisation des racines de P de multiplicité m donnée à l'aide des dérivées successives de P.
  • Vocabulaire : racine simple, racine multiple, racine double.

IV. Polynômes scindés

• 1. Définition
  • Un polynôme (non constant) est scindé ssi il peut s'écrire comme produit de polynômes de degré 1, ou encore sous la forme

• 2. Théorème de d'Alembert-Gauss.
  • Théorème de D'Alembert-Gauss : tout polynôme non constant de C[X] admet une racine (au moins).
  • Corollaire : les polynômes irréductible de C[X] sont les polynômes de degré 1.
  • Corollaire : tout polynôme sur C est scindé.
  • Factorisation de X^n-1.

• 3. Polynômes irréductibles de R[X]
  • Si P est un polynômes à coefficients réelles, et une racine de P non réelle, alors est racine de P.
  • Description des polynômes irréductibles de R[X] (polynômes de degré 1 et polynômes de degré 2 sans racine réelle).
  • Exemples : factorisations de X^{2p}-1, X^{2p+1}-1, X^4+1.

• 4. Relations coefficients-racines
  • Définition des fonctions symétriques en n variables .
  • Relations coefficients-racines.

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