I. Généralités
- 1. Définition
- Un complexe est, par définition, un couple de réel.
- Définition de l'addition de deux complexes.
- Définition de la multiplication.
- 2. Structure de corps.
- Propriétés qui munissent C d'une structure de corps.
- Démonstration des points suivants: associativité de l'addition, associativité de la multiplication, (0,0) est élément neutre pour l'addition, (1,0) est élément neutre pour la multiplication, (x/(x²+y²),-y/(x²+y²)) est l'inverse de (x,y) si (x,y) est non nul.
- 3. Écriture algébrique.
- Identification de R avec la partie de C
, identification compatible avec les lois + et × (a priori définies indépendamment sur R et C).
- En notant i=(0,1), on a i²=(-1,0)=-1.
- Alors tout nombre complexe s'écrit (x,y)=x+iy (avec x,y réels). Cet écriture est unique et s'appelle écriture algébrique du complexe. Dans toute la suite, on utilisera systématiquement l'écriture algébrique d'un complexe z=x+iy, au lieu de z=(x,y).
- Définition de la partie réelles et imaginaire d'un complexe.
- R-linéarité des applications partie réelle et partie imaginaire.
- Définition des imaginaires purs
- Caractérisation des réels et des imaginaires pures à l'aide des parties réelles et imaginaires.
- Identification de R avec la partie de C
- 4. Conjugaison
- Définition du conjugué
d'un complexe
.
- Comportement de la conjugaison vis-à-vis d'une somme de deux complexes, d'un produit de deux complexes, de l'inverse d'un complexe non nul.
- Caractérisation des réels (et des imaginaires purs) parmi les complexes, à l'aide de leurs conjugués.
- Expression des parties réelle et imaginaire d'un complexe z à l'aide de z et de son conjugué.
- Définition du conjugué
- 5. Module d'un complexe
- Si
est un complexe, alors
est un réel positif, nul ssi
.
- Définition du module d'un complexe:
.
- Module d'un produit, module de l'inverse d'un complexe non nul.
- Si
- 6. Inégalité triangulaire
- Inégalité triangulaire : pour tout complexes
et
,
.
- Lemme intermédiaire: pour tout complexe
,
et cas d'égalités.
- Inégalité triangulaire : pour tout complexes
- 7. Complexes et géométrie
- Affine d'un point du plan (muni d'un répère orthonormal direct), d'un vecteur du plan vectoriel (muni d'une base orthonormale directe).
- Correspondance du produit scalaire avec
.
- Correspondance du Déterminant avec
- Interprétation géométrique de l'inégalité triangulaire.
- Interprétation géométrique de la conjugaison (symétrie par rapport à l'axe Ox).
- 8. Ensemble U des complexes de modules 1
- Définition de l'exponentielle imaginaire pur.
- Propriétés (module de l'exponentielle d'un imaginaire pur, exponentielle d'une somme d'imaginaires purs, exponentiel de l'opposé d'un imaginaire pur, d'un multiple entier d'un imaginaire pur, condition pour que deux imaginaires purs aient même exponentielle)
- Tout complexe de module 1 est l'exponentiel d'un imaginaire pur.
- Définition de U (ensemble des complexes de module 1, ou encore ensemble des complexes de la forme exp(i x), x décrivant R).
- Stabilité de U par produit, par passage à l'inverse.
- (U, ×) est un groupe, et même un sous-groupe de (C, ×)
- 9. Forme polaire d'un nombre complexe
- Forme polaire d'un complexe non nul
(existence de la forme polaire, et unicité du "rayon"
).
- Définition (d'une mesure) de l'argument d'un complexe non nul.
- Forme semi-polaire d'un complexe (expression de
est supposé réel non nécessairement positif).
- Formes semi-polaires de
, de
- Démonstration du théorème de l'angle inscrit.
- Interprétation géométrique de
pour
réel (homothétie de centre O et de rapport
- Interprétation géométrique de
pour
réel (rotation de centre O et d'angle
- Interprétation géométrique de
pour
(si
, il s'agit de la similitude de centre O, de rapport
- Définition d'une similitude.
- Interprétation géométrique de
pour
(si
- Interprétation géométrique de
pour
et
- Forme polaire d'un complexe non nul
II. Racines de complexes.
- 1. Racines n-ième d'un complexe.
- Définition d'une racine n-ième d'un complexe Z fixé.
- Définition d'une racine n-ième de l'unité.
- Détermination de l'ensemble des racines n-ième complexes d'un complexe Z donnée (à l'aide de la forme polaire de Z).
- Cas particulier: ensemble des racines n-ièmes de l'unité.
- 2. Symbole
et identités remarquables.
- Définition de
pour un n-uplet de complexes données, voire d'éléments d'un groupe abélien (par exemple de vecteurs).
- Relation de Chasles sur les sommes finies.
- Invariance d'une somme finie par permutation des indices.
- Décalages d'indice.
- Linéarité de la somme
pour des complexes données, voires pour des éléments d'un anneau. Propriété analogue pour des vecteurs (avec la loi externe).
- Nombre "k parmi n" de parties à k éléments dans un ensemble à n éléments.
- Relation du triangle de Pascal.
- Expression de "k parmi n" à l'aide de factorielles.
- Formule du Binôme de Newton (pour deux éléments d'un anneau qui commutent).
- Identité
(pour deux éléments d'un anneau qui commutent)
- Simplification de somme "télescopique"
dans un groupe abélien additif.
- Somme des premiers entiers, des premiers carrés, des premiers cubes.
- Somme de termes consécutifs d'une suite en progression géométrique. Cas particulier de la somme des racines n-ièmes de l'unité.
- Définition de
- 3. Racines cubique de l'unité
- Définition de j (forme polaire):
- relation
.
- relation
.
- Définition de j (forme polaire):
- 4. Recherche algébrique des racines carrées d'un complexe.
- Méthode de résolution (sous forme algébrique) de l'équation z²=Z d'inconnue z.
- 5. Équations du second degré à coefficients complexes
- Forme canonique d'un trinôme (à coefficients complexes).
- Discriminant.
- Méthode de résolution.
- Relation coefficients-racines.