I. Application linéaires et base
- 1. Isomorphisme entre E et K^n
- Si E est un K-espace vectoriel de dimension n, la donnée d'une base de E correspond à la donnée d'un isomorphisme de K^n.
- 2. Image d'une base et application linéaire
- Si E est de dimension finie n, et B=(e1,e2,...,en) est une base de E, (f1,f2,...,fn) une famille à n éléments de F, il existe une unique application linéaire envoyant ej sur fj.
- B étant une base donnée, isomorphisme de K^n sur E associé.
- Deux espaces vectoriels de même dimension finie sont isomorphe.
II. Famille de vecteurs et applications linéaires
Si F=(e1,...,ep) est une famille de p vecteurs de E, u€L(E,F), on notera u(F) et on appellera "image de la famille F par u" la famille (u(e1),u(e2),...,u(ep)).
- 1. Famille libre et application linéaire
- Image d'une famille liée par une application linéaire.
- (Contraposée:) Liberté d'une famille dont l'image par une application linéaire est libre.
- Image d'une famille libre par une application linéaire injective.
- Si F est de dimension finie, et qu'il existe une injection linéaire de E dans F, alors E est de dimension finie inférieure ou égale à celle de F.
- Lemme : un espace de dimension infinie admet une famille libre de cardinal arbitraire.
- 2. Famille génératrice et application linéaire
- L'image par u d'une famille génératrice F engendre (Im u).
- Cas où u est surjective.
- Si E est de dimension finie, et qu'il existe une surjection linéaire de E dans F, alors F est de dimension finie inférieure ou égale à celle de E.
- 3. Base et application linéaire
- Deux K-espaces vectoriels (dont l'un d'eux est supposé de dimension finie) sont isomorphes si, et seulement si, ils ont même dimension.
- Si E est un K-espace vectoriel de dimension finie et u un endomorphisme de E, il y a équivalence des propriétés suivantes:
- u est un automorphisme de E.
- u est injectif.
- u est surjectif.
- u est inversible dans l'anneau L(E).
- u est inversible à droite (dans l'anneau L(E)).
- u est inversible à gauche (dans l'anneau L(E)).
- pour toute base B de E, u(B) est une base de E.
- il existe une base B de E telle que u(B) est une base de E.
- Enoncé analogue au précédent dans le cas d'une application linéaire de E dans F (K-espaces vectoriels de même dimension finie).
III. Rang d'une application linéaire
- 1. Rang d'une famille de vecteurs
- Définition du rang d'une famille F de vecteurs de E (rg F:=dim(Vect(F)))
- Rang d'une sous-famille.
- Card(F)<=rg(F)
- F est une famille libre ssi Card(F)=rg(F).
- Card(E)<=dim(E).
- 2. Rang d'une application linéaire
- Définition (dimension de l'image).
- Si u et v sont deux applications linéaires (composables):
- rg(v o u)<= rg(v) avec égalité lorsque u est un isomorphisme.
- rg(v o u)<= rg u avec égalité lorsque v est un isomorphisme.
- Si G est une famille de vecteurs de E, et u une application linéaire de E dans F, le rang de u est le rang de la famille de vecteurs u(G).
- 3. Théorème du rang
- Si G est un supplémentaire du noyau de u, u induit un isomorphisme de G sur Im u.
- Théorème du rang: si u est linéaire de E dans F, dim(Ker u)+rg u=dim(E).
- Si u est un endomorphisme de E, u est un automorphisme ssi rg u=dim(E).
IV. Formes linéaires
- 1. Définition
- Définition d'une forme linéaire sur E (application linéaire de E dans K).
- Exemple des formes linéaires coordonnées associées à une base de E fixée.
- Exemple : dirac (ou évaluation) en a: L'application f→f(a) est linéaire sur C(I,R).
- Si f est une forme linéaire sur E et B une base de E, expression de f(x) à l'aide des coordonnées de x dans B et des images par f des éléments de B.
- 2. Hyperplans
- Définition (un hyperplan d'un K-ev E est le noyau d'une forme linéaire non nulle sur E).
- Si E est un K-espace vectoriel de dimension finie n, les hyperplans sont les sous-espaces vectoriels de dimension n-1.
V. Dimension de L(E,F)
- 1. Dimension de L(E,F)
- Si E et F sont respectivement de dimension finie n et p, L(E,F) est de dimension n×p.
- Isomorphisme (donné par une base B de E) de L(E,F) sur F^p.
- Isomorphisme (donné par une base C de F) de K^n sur F.
- Isomorphisme (construit à partir des deux précédents) de (K^n)^p sur L(E,F).
- 2. Matrices
- Définition d'une matrice n×p à coefficients dans K.
- Ensemble M_{n,p}(K).
- Structure de K-espace vectoriel sur M_{n,p}(K).
- Matrice relativement à un couple (B,C) d'une base de E et d'une base de F d'une application linéaire de E dans F Mat_{B,C}(u).
- Mat_{B,C} est un isomorphisme de L(E,F) sur M_{n,p}(K).