K désigne un corps dans tout le chapitre, et E, F et G sont deux K-espaces vectoriels.
I. Généralités
- 1. Définition
- Définition d'une application linéaire de E dans F.
- Exemples.
- Ensemble L(E,F) des applications linéaires de E dans F.
- 2. Opérations
- Combinaisons linéaires d'applications linéaires : L(E,F) est un K-espace vectoriel.
- Image du vecteur nul par une application linéaire
- Image d'une combinaison linéaire (d'un nombre quelconque d'éléments) par une application linéaire.
- Composition d'applications linéaires.
- Bilinéarité de la composition : L(F,G)×L(E,F)→L(E,G).
- 3. Images réciproques et application linéaire
- Image réciproque d'un sous-espace vectoriel de F par une application linéaire u de E dans F.
- Définition du noyau. Notation Ker(u)
- Caractérisation de l'injectivité à l'aide du noyau
- 4. Images directes et applications linéaires
- Image directe d'un sous-espace vectoriel de E par une application linéaire u de E dans F.
- Définition de l'image. Notation Im(u)
- Expression de la surjectivité à l'aide de l'image.
- 5. Isomorphismes
- Définition d'un isomorphisme entre deux espaces vectoriels (bijection linéaire)
- La bijection réciproque d'un isomorphisme est un isomorphisme
- Composée de deux isomorphismes.
- 6. Endomorphismes
- Définition d'un endomorphisme de E (application linéaire de E dans E)
- Structure d'anneau sur l'ensemble L(E) des endomorphismes de E (non commutatif et non intègre en général - démo de ces deux points pour E=R²).
- 7. Automorphismes
- Définition d'un automorphisme de E.
- Structure de groupe sur l'ensemble des automorphisme de E, noté GL(E), et appelé groupe linéaire de E.
II. Exemples de quelques applications linéaires génériques
- 1. Homothétie
- Définition d'une homothétie ; application de la forme aId_E où a€K.
Dans toute la suite de ce paragraphe, F et G désigne deux sous-espaces vectoriels supplémentaires de E
- 2. Projection
- Projection sur F parallèlement à G.
- Rappel de la définition.
- Linéarité.
- Idempotence (p o p=p)
- Im(p)=Ker(p-Id)=F
- Ker(p)=G
- Définition d'un projecteur de E (endomorphisme idempotent).
- Si p est un projecteur, Im p=Ker(p-Id).
- Si p est un projecteur, Im p et Ker p sont supplémentaire, et p est la projection sur Im p parallèlement à Ker p.
- Projection sur F parallèlement à G.
- 3. Symétries
- Symétrie par rapport à F, parallèlement à G
- Définition.
- Linéarité.
- Involutivité : s²=Id.
- F=Ker(s-Id)
- G=Ker(s+Id).
- Expressions algébriques reliant la projection sur F parallèment à G et la symétrie par rapport à F et parallèlement à G.
- Définition algébrique d'une symétrie de E (endomorphisme involutif).
- Si s est une symétrie, Ker(s+Id) et Ker(s-Id) sont supplémentaire, et s est la symétrie par rapport à Ker(s+Id) et parallèlement à Ker(s-Id).
- Symétrie par rapport à F, parallèlement à G
- 4. Affinités
- Définition de l'affinité par rapport à F, de direction G et de rapport K (différent de 1).
- Linéarité.
- Identité (a-Id)(a-KId)=0
- Caractérisation algébrique des affinités.
III. Équations linéaires
- Définition d'une équation linéaire (équation de la forme u(x)=b, b donné dans F, u linéaire de E dans F, x inconnue dans E).
- Équation linéaire homogènre (noyau).
- Description de l'ensemble des solutions, selon que b est dans l'image de u (sous-espace affine de direction Ker u) ou pas (ensemble vide)