I. Généralités
- 1. Définition
- Définition d'une suite réelles (resp complexe).
- Ensemble
(resp:
) des suites à valeurs réelles (resp: complexes)
- Suites définie par récurrence (existence et unicité admise, sous la donnée d'une condition initiale adaptée à chaque cas):
- récurrence simple :
- récurrence la plus générale :
- récurrence à p pas :
- récurrence simple :
- 2. Ordre
- Relation d'ordre sur
(ensemble des applications de E à valeurs réelles, identifié à l'ensemble des familles d'éléments de R indéxées par E), partielle dès que E a au moins deux éléments.
- Cas particulier pour l'ensemble des suites réelles.
- Relation d'ordre sur
- 3. Opérations sur les suites réelles (ou complexes)
- Structure d'anneau commutatif et non intègre sur
- Loi externe (produit d'un scalaire par une suite). Structure d'espace vectoriel énoncée.
- Identification des suites constantes aux scalaires (compatibilité de cette identification avec les produits externe et interne).
- Structure d'anneau commutatif et non intègre sur
- 4. Suites monotones
- Si u est une suite réelle, il y a équivalence entre les propriétés suivantes (et si elles sont vérifiée, la suite u est dite croissante)
-
- Suites décroissantes, suites strictement croissantes, strictement décroissante.
- Si u est une suite réelle, il y a équivalence entre les propriétés suivantes (et si elles sont vérifiée, la suite u est dite croissante)
- 5. Propriétés vraies à partir d'un certain rang
- Notion de suites "définies à partir d'un certain rang".
- Propriétés vérifiées à partir d'un certain rang.
- Suites stationnaires.
- 6. Suites majorées/minorées/bornées
- Définition, pour une suite réelles des qualificatif "majorée", "minorée".
- Borne supérieure / borne inférieure d'une suite réelle majorée / minorée.
- Définitions équivalences d'une suite réelle bornée.
- u est majorée et minorée.
- |u| est majorée.
- Définition d'une suite complexe bornée.
II. Limites
Les suites sont considérées à valeurs dans K=R ou C (et bien sûr, seulement K=R pour toutes les propriétés faisant intervenir des inégalités).
- 1. Définition et première propriété
- Définition de la convergence vers L d'une suite.
- Unicité du "L" précédent: définition de la limite d'une suite.
- Exemples (démontrés "à la main"): limite des suites de terme général a^n (pour |a|<1) 1/n^p (pour p entier).
- lim u=L ssi lim|u-L|=0 ssi lim(u-L)=0
- 2. Suites de limites nulles
- Toute suite convergente est bornée.
- Somme de suites de limite nulles.
- Produit (par un scalaire) d'une suite de limite nulle.
- Suite majorée en module par une suite (positive) de limite nulle.
- Produit d'une suite bornée par une suite de limite nulle.
- 3. Opération sur les suites convergentes et les limites
- Convergence et limite d'une somme de suites convergentes.
- ... d'un produit ...
- Si une suite réelle converge vers un réel strictement positive, elle est minorée à partir d'un certain rang par une constante strictement positive.
- Limite d'un module d'une suite convergente.
- Définition (à partir d'un certain rang) et convergence de l'inverse d'une suite de limite non nulle.
- Conservation des inégalités larges par passage à la limite
- Théorème des gendarmes.
- 4. Limites infinies
- Définition de la divergence vers +oo (resp: -oo) pour une suite réelles.
- Une suite tendant vers +oo (resp: -oo) diverge. Une suite ne peut simultanément diverger vers +oo et -oo.
- Généralisation à +oo et -oo de la limite d'une suite (définie préalablement seulement si u est convergente).
- Notion de convergence d'une suite réelle u vers L par valeurs supérieures (resp inférieures). Notation
(et analogue).
- Opération usuelles et limites infinies (somme, produit, quotient - cas de formes indéterminées).
- Une suite divergeant vers +oo est minorée et non majorée (résultat analogue pour une suite divergeant vers +oo)
- Variantes du théorème des gendarmes pour deux suites u et v telles que u <= v:
- d'une part lorsque u tend vers +oo.
- d'autre part lorsque v tend vers -oo.
- 5. Suites monotones
- Théorème de la limite monotone : Si u est une suite réelle monotone.
- ou bien u est croissante et majorée. Dans ce cas, u converge vers sa borne supérieure.
- ou bien u est croissante et non majorée. Dans ce cas, u diverge vers +oo.
- ou bien u est décroissante et minorée. Dans ce cas, u converge vers sa borne inférieure.
- ou bien u est décroissante et non minorée. Dans ce cas, u diverge vers -oo.
- Théorème de la limite monotone : Si u est une suite réelle monotone.
- 6. Suites extraites
- Une fonction phi strictement croissante de N dans N vérifie phi(n)>=n.
- Définition d'une suite extraite (ou sous-suite).
- Convergence d'une suite extraite d'une suite convergente.
- Si u est une suite telle que les suites (u_2p) et (u_2p+1) convergent vers une même limite L, alors u converge vers L.
- 7. Suites adjacentes
- Définition.
- Convergence.
- Exemple des suites des valeurs décimales approchées (par défaut/par excès) d'un réel
- Théorème des segments emboités