I. Groupes
- 1. Définition
- Loi interne.
- Associativité.
- Magna (couple (E,*), où * est une loi interne sur E). vocabulaire non exigible
- Monoïde (magma associatif). vocabulaire non exigible
- Dans un monoïde, un composé de n éléments x1*x2*...xn est indépendant de l'ordre de priorité de l'opération * (ce qui autorise l'absence de parenthésage). admis
- Élément neutre dans un monoïde. Unicité si existence.
- Monoïde unifère (monoïde muni d'un élément neutre). vocabulaire non exigible
- Symétrisabilité d'un élément d'un monoïde unifère. Unicité du symétrique d'un élément x si existence. notation
.
- Définition d'un élément idempotent. D'un élément involutif vocabulaire en théorie non exigible, mais "un peu moins non exigible" que le reste du vocabulaire non exigible :-)
- Exemples usuels (sous-ensembles classiques de C, munis de la loi + ou *, multiplication usuelle), ensemble
des applications de E dans E muni de la composition.
- Définition d'un groupe.
- Symétrisabilité et symétrique d'un composé de deux éléments.
- Définition d'une loi commutative.
- Définition d'un groupe abélien.
- Dans un groupe abélien G additif (ie dont la loi est notée +):
- élément neutre noté 0 et appelé élément nul.
- définition de
pour
(pour n=0, par récurrence pou n positif, par passage au symétrique pour n négatif)
- propriétés :
-
- définition de
pour
- Dans un groupe G dont la loi est notée multiplicativement.
- élément neutre fréquemment noté 1.
- définition de
- propriétés :
-
- si G est abélien
-
-
- 2. Sous-groupe
- Définition d'un sous-groupe H d'un groupe (G,¤) (partie de G dont la loi ¤ induit par restriction à H² une loi interne munissant H d'une structure de groupe).
- Caractérisation des sous-groupes: une partie H de G est un sous-groupe de H si et seulement si elle est non vide, stable pour ¤ et par passage au symétrique.
- Points abordés (parmi d'autres) dans la démonstration (d'une implication) du point précédent.
- dans un groupe, l'élément neutre est l'unique élément idempotent.
- l'élément neutre d'un sous-groupe est l'élément neutre du groupe qui le contient (indépendant de l'élément neutre vis-a-vis du groupe dans lequel il est considéré)
- le symétrique d'un élément x de H est le symétrique de x dans G
- Intersection de sous-groupes.
- 3. Produit de groupes
- Si (G1, ¤) et (G2, *) sont deux groupes, structure de groupe sur le produit cartésien de de G1 et G2.
- Si E est un ensemble et (G,¤) un groupe, structure de groupe sur F(E,G), ensemble des applications de E dans G.
- 4. Morphismes de groupes
- Définition.
- Image de l'élément neutre par un morphisme. Image du symétrique d'un élément par un morphisme.
- Noyau et Image d'un morphisme.
- Le noyau d'un morphisme est un sous-groupe de l'ensemble de définition du morphisme.
- L'image d'un morphisme est un sous-groupe de l'ensemble d'arrivée du morphisme.
- Caractérisation des morphismes injectifs à l'aide du noyau.
- Composé de deux morphismes.
- Définition d'un endomorphisme.
- Si un morphisme est bijection, sa bijection réciproque est également un morphisme.
- Définition d'un isomorphisme de groupes; d'un automorphismes de groupe.
- L'ensemble (Aut(G,*),o) des automorphismes d'un groupe G, muni de la composition, est un groupe.
II. Anneaux
- 1. Définitions
- Définition d'un anneau (par définition, un anneau possède en particulier un élément neutre pour la multiplication, noté 1).
- Exemples usuels (Z, R, C, D, Q pour les lois + et × usuelles).
- La première loi est fréquemment (systématiquement?) notée additivement +. L'élément neutre, appelé élément nul, est noté 0 (ou 0_A)
- La deuxième loi est fréquemment notée mulitplicativement.
- Définition d'un anneau commutatif.
- Dans tout anneau, 0 (élément neutre de l'addition) est absorbant.
- Définition d'un anneau intègre (un tel anneau est en particulier, par définition, commutatif).
- Propriété (n 1_A)*x=nx pour tout n entier relatif. Notation n pour désigner n 1_A dans l'anneau A.
- 2. Règles de calcul dans un anneau
- Distributivité à gauche et à droite généralisée (produit d'un élement par une somme de n élément).
- Double-distributivité (produit de deux sommes).
- Formule (ab)^n=a^nb^n si ab=ba.
- Formule du binôme de Newton pour deux élément a et b tels que ab=ba.
- Formule a^n-b^n=(a-b)*... pour a et b tels que ab=ba et n entier naturel.
- Définition de a^n pour n négatif si a est inversible.
- a^{n+m}=a^na^m pour m et n entiers naturels (ou relatifs si a est inversible).
- a^{m}}^n=a^{mn} pour m et n entier natures (ou relatifs si a est inversible).
- 3. Fonctions à valeurs dans un anneau.
- Si A est un anneau, structure d'anneau sur F(E,A) (ensemble des applications de E dans A) pour les lois "terme par terme" induites par celles de A. Dès que E a au moins 2 éléments, l'anneau F(E,A) n'est pas intègre.
- Simplification dans un anneau intègre le vocabulaire « élément régulier » n'a pas été introduit.
- 4. Sous-anneaux
- Définition (sous-ensemble contenant l'unité, sous-groupe et stable par produit).
- Si B est un sous-anneau de (A,+,*), les lois + et induisent des lois internes sur B conférant à B une structue d'anneau.
- 5. Corps
- Définition d'un corps (en particulier commutatif par définition).
- Définition d'un sous-corps (sous-anneau stable par passage à l'inverse).
- Si K' est un sous-corps de (K,+,*), les lois + et induisent des lois internes sur K' conférant à K' une structue de corps.
- Exemple du corps à 2 éléments (noté Z/2Z, sans justifier cette notation).
- Exemples usuels (R, C, Q).