I. Structures vectorielles et affines du plan et de l'espace
- 1. Structure d'espace vectoriel sur R
- Les notions de vecteur et de point du plan ou de l'espace sont considérées comme connues (voir cours du secondaire)
- Notations :
et
désignent respectivement le plan affine et l'espace affine (ensembles de points).
et
le plan vectoriel et l'espace vectoriel usuel (ensembles de vecteurs)
- loi interne + (addition de vecteurs) et loi externe (multiplication d'un réel par un vecteur)
- Structure de groupe abélien sur l'ensemble des vecteurs du plan (resp: de l'espace).
- Structure d'espace vectoriel.
- 2. Bases.
- Notion de colinéarité de deux vecteurs (ou bien le premier vecteur est nul, ou bien le second est un multiple du premier).
- Propriété (admise) concernant le plan vectoriel : existence d'une famille de deux vecteurs
tel que tout vecteur s'exprime comme combinaison linéaire de i et j.
- Définition d'une base du plan. Une famille de deux vecteurs est une base si et seulement si les deux vecteurs sont non colinéaires.
- Notion de coplanarité de trois vecteurs (ou bien les deux premiers vecteurs sont colinéaire, ou bien le troisième est une combinaison linéaire des deux premiers).
- Propriété (admise) concernant l'espace usuel vectoriel : existence d'une famille de trois vecteurs
tel que tout vecteur s'exprime comme combinaison linéaire de i, j et k.
- Définition d'une base de l'espace usuel. Une famille de trois vecteurs est une base si et seulement si les trois vecteurs sont non coplanaire.
- 3. Structure affine.
- Application
.
- Relation de Chasles.
- Caractère bijectif de
, quel que soit A. Identification entre le plan affine et le plan vectoriel via la donnée d'une origine du plan affine (idem avec l'espace usuel).
- Notion de repère cartésien du plan (ou de l'espace) affine.
- Notion d'équation cartésienne.
- Application
- 4. Barycentres.
- Définition du barycentre d'une famille de points pondérés (et étude du cas où la masse totale est nulle)
- Propriété fondamentale.
- 5. Changement de repère
- Établissement des formules de changement de repère (dans un plan affine muni de deux repères cartésiens).
- Changement de base (dans un plan vectoriel muni de deux bases).
- 6. Systèmes linéaires 2×2
- Déterminant d'un système linéaire. Condition nécessaire et suffisante de nullité d'un déterminant de quatre coefficients.
- Système de Cramer. Formules de Cramer.
- Description de la "taille" de l'ensemble des solutions d'un système linéaire (avec second membre).
- 7. Retour sur le barycentre
- Associativité du Barycentre.
- "Homogénéité" du barycentre. Possibilité de choisir les poids pour avoir un poids total égal à 1.
- Coordonnées barycentriques associées à un repère affine du plan (3 points non alignés). Existence et unicité.
II. Propriétés euclidiennes
- 0. Prérequis des années précédentes
- La notion d'angle est supposée connue, ainsi que celle de mesure d'un angle.
- La notion de distance entre deux points, ainsi que celle de norme d'un vecteur, est également supposée connue.
- Les formules de trigonométrie usuelles sont également considérées comme acquises.
- 1. Repère orthonormal
- Définition d'une base orthonormale du plan vectoriel, d'une base orthonormale directe, d'une base orthonormale indirecte.
- Définition d'un repère orthonormal du plan affine, d'un repère orthonormal direct, d'un repère orthonormal indirect.
- Base polaire
.
- Détermination de l'ensemble des vecteurs unitaires (à l'aide du cercle trigonométrique).
- Détermination de l'ensemble des bases orthonormales directes.
- Définition d'un système de coordonnées polaires d'un point donné.
- Équation polaire d'une droite ne passant pas par l'origine; d'une droite passant par l'origine.
- 2. Produit scalaire
- Définition (géométrique) du produit scalaire de deux vecteurs.
- Expression en base orthonormale directe.
- Bilinéarité.
- Symétrie.
- Caractérisation de l'orthogonalité avec le produit scalaire.
- Inégalité de Cauchy-Schwarz, et caractérisation de la colinéarité (et de la colinéarité positive) de deux vecteurs à l'aide du produit (cas d'égalité dans l'inégalité de Cauchy-Schwarz).
- 3. Déterminant
- Définition (géométrique) du déterminant de deux vecteurs. Notation Det.
- Expression en base orthonormale directe.
- Bilinéarité et antisymétrie.
- Caractérisation de la colinéarité à l'aide du déterminant Det, et de l'alignement de 3 points.
- 4. Déterminant par rapport à une base
- Définition analytique du déterminant de deux vecteurs relativement à une base.
- Condition nécessaire et suffisante de colinéarité de deux vecteurs.
- Bilinéarité, antisymétrie.
- Le Det (section 3) est le déterminant relativement à une base orthonormale directe.
- 5. Notion de paramétrage
- Notion de paramétrage d'une partie du plan en coordonnées cartésienne.
- Paramétrage de la courbe représentative d'une fonction à l'aide de l'abcisse.
- Paramétrage en coordonnées polaires.
- Paramétrage à l'aide de l'angle polaire d'une courbe donnée par une équation polaire de la forme
.
- 6. Droites.
- a. Droite décrite par un point et un vecteur directeur.
- Paramétrage.
- Utilisation du déterminant pour obtenir une équation cartésienne.
- b. Droite donnée par deux points.
- Se ramène au cas précédent.
- c. Droite donnée par un point et un vecteur normal.
- Utilisation du produit scalaire pour obtenir une équation cartésienne.
- Une partie du plan ayant une équation cartésienne de la forme ax+by+c=0 est une droite (lorsque a et b ne sont pas simultanément nuls). De plus le vecteur de coordonnées (a,b) est un vecteur normal à cette droite.
- d. Équation polaire d'une droite.
- "Factorisation" d'une fonction sinusoidale de la forme t->Acos(t) + Bsin(t) sous la forme t->K cos(t-t0)
- e. ligne de niveau de
- f. ligne de niveau de
- a. Droite décrite par un point et un vecteur directeur.
- 7. Projection orthogonale sur une droite
- Définition (existence et unicité) du projeté orthogonal d'un point M sur une droite D.
- Caractérisation du projeté orthogonal de M comme point de D réalisant le minimum de la distance MN pour N décrivant D.
- Expressions pour calculer le projeté orthogonal:
- à l'aide d'un point et d'un vecteur normal.
- à l'aide d'un point de la droite et d'un vecteur directeur.
- Distance d'un point à une droite:
- à l'aide du projeté orthogonal.
- à l'aide de l'équation cartésienne.
- notion d'équation normale.
- Interprétation géométrique du déterminant.
- aire d'un parallélogramme.
- aire d'un triangle.
- 8. Cercles
- Définition (par son centre et son rayon).
- Équation cartésienne d'un cercle de centre A et de rayon R.
- Nature d'un ensemble d'équation cartésienne de la forme x²+y²+ax+by+c=0 (ensemble vide, singleton ou cercle).
- Intersection d'une droite et d'un cercle.
- Intersection de deux cercles.
- Équation polaire d'un cercle de centre O.
- Équation polaire d'un cercle passant par O.
- Lieu des points M tels que
.
- 9. Coordonnées en base orthonormale
- Étant donnée une base orthonormale, expression des coordonnées d'un vecteur en fonction de produit scalaires.