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Chapitre Préliminaire : notions de base de logique, ensembles et applications

Ce chapitre est loin de couvrir ce qui est exigible en PCSI. Il se contente d'introduire quelques notions indispensables dès la première période.

I. Logique.
  • Notion de proposition (ou assertion) : formulation qui est soit vraie, soit fausse.
  • Propositions à paramètres.
  • Opérations sur les propositions : et, ou, non, implique, équivalence. Table de vérité.
  • Quelques règles de calculs sur les opérations entre propositions.
  • Quantificateurs (pour tout, il existe).
  • Quelques principes d'utilisation des quantificateurs.
  • Intervertion de deux quantificateurs identiques.
  • Non-intervertibilité de quantificateurs différents.
II. Ensembles.
  • 1. "Définition"
    • La notion d'ensemble est considérée comme intuitive.
    • Appartenance, inclusion.
    • Égalité entre ensembles, double inclusion.
  • 2. Opérations sur les ensembles.
    • Union, intersection.
    • Complémentaires, "Soustraction".
    • Règles de calcul.
    • Produit cartésien E×F de deux ensembles E et F.
III. Applications.
  • 1. Relations.
    • Définition d'une relation sur un produit cartésien E×F.
    • Définition d'un graphe fonctionnel (et d'une application).
    • Notation F(E,F) pour l'ensemble des applications de E dans F.
  • 2. Composition.
    • Composée g o f d'une application f:E-> F avec une application g:F->G.
    • Associativité de la composition.
  • 3. Application identité.
    • Application Id_E d'un ensemble E dans lui-même.
    • Composition (à gauche, puis à droite) d'une application quelconque par l'identité.
  • 4. Bijection.
    • Définition d'une bijection, ou application bijective, de E sur F.
    • Définition de la bijection réciproque.
    • Composée (dans les deux sens) d'une bijection avec sa réciproque.
    • Réciproquement, une application f:E->F telle qu'il existe h:f->E vérifiant f o h=Id_F et h o f=Id_E est une bijection, et h en est la réciproque.
  • 5. Permutations.
    • Définition d'une permutation d'un ensemble E (bijection de E dans E).
    • Notation S(E) pour l'ensemble des bijections de E.
    • Composée de deux permutations (et de deux bijections).
    • Caractère bijectif de la réciproque d'une bijection (d'où le vocabulaire: bijection réciproque).
    • Structure de groupe de (S(E), o).
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