Cette page était entretenue par Jean Starynkévitch. Ci-dessous (par ordre anti-chronologique) le déroulement du cours de l'année 2008-2009.

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Cours

Chapitre 37 - automorphismes orthogonaux

• I. Généralités.
  • Symétries orthogonales.
• II. Automorphismes orthogonaux en dimensions 2.
  • Détermination de toutes les bases orthonormales (directes et indirectes) d'un plan euclidien orienté.
  • Détermination de SO_2(R). Structure de groupe abélien. Morphisme canonique du groupe R dans SO_2(R)
  • Détermination de O_2^-(R)
  • Tout élément de O_2(R) est composée d'une ou deux réflexions.
  • Angle d'une rotation d'un plan euclidien orienté.
  • Détermination de l'angle (cosinus et sinus).
• III. Automorphismes orthogonaux en dimension 3.
  • Expression de l'ensemble des rotations d'un espace euclidien orienté de dimension 3 dans un base orthonormale bien choisie (dépendant de la rotation).
  • Axe d'une rotation. Angle d'une rotation (une fois l'axe orienté par un vecteur unitaire).
  • Détermination de l'angle de la rotation (attention: la trace d'un endomorphisme n'est pas une notion au programme de SUP).

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Cours

Chapitre 36 - fonctions de plusieurs variables

• 5. Gradient.
• 6. Condition nécessaire d'extremum local
• III. fonctions de classe C^2.
  • Définition. Dérivées partielles d'ordre 2.
  • Théorème de Schwarz.

Chapitre 37 - Automorphismes orthogonaux

• I. Généralités.
  • Définition (application linéaire conservant le produit scalaire).
  • Caractérisation à l'aide de la conservation de la norme des automorphismes orthogonaux parmi les endomorphismes de E (espace euclidien).
  • Caractérisation à l'aide de la conservation de la distance (distance associées à la norme euclidienne): isométries linéaires
  • Une application conservant le produit scalaire est linéaire.
  • Caractérisation en terme de bases orthonormales.

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Cours

Chapitre 36 - fonctions de plusieurs variables

• 3. Différentielle.
  • Définition d'un développement limité à l'ordre 1 (le mot différentiabilité, introduit dans le cours, est en principe hors programme).
  • Une fonction différentiable en un point y admet une dérivée dans tous les directions.
  • Linéarité de l'application h->D_h f(x_0) (dérivée selon le vecteur h de f en x0) lorsque f est différentiable.
• 4. Fonctions de classe C^1.
  • Définition (par la continuité des dérivées partielles premières)
  • Une fonction de classe C^1 est différentiable.
  • Composée de fonctions de classe C^1 (d'une et/ou de deux variables).

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Cours

Chapitre 36 - fonctions de deux variables

• I. Généralité.
  • 3. Continuité.
    • Structure d'espace vectoriel et d'anneau de l'ensemble des applications continues sur A à valeurs dans R ou R².
    • Un "produit" (soit pour la loi externe d'espace vectoriel R², soit un produit scalaire, mixte, vectoriel) d'applications continues est continue.
    • Composée d'applications continues (d'une ou deux variable, dans tous les sens possibles).
    • Exemple.
    • Comment démontrer la non-continuité d'une application par composition.
    • Passage en coordonnées polaire pour démonstrer la continuité en 0 d'une application.
  • 4. Ouverts.
    • Définition d'un ouvert de R².
• II. Dérivées partielles.
  • 1. Dérivée selon un vecteur.
  • 2. Dérivées partielles.

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Cours

Chapitre 36 - fonctions de deux variables

• I. Généralité.
  • 1. Fonctions de deux variables.
  • 2. Applications partielles (continuité partielle)
  • 3. Continuité.

Exercices

- feuille 21 (espaces euclidien), exercices 9.1, 10.2 (matrice de projecteur/symétrie orthogonale de R^3), 8 (une application formellement "autoadjointe" est linéaire), 4 (sous-espace d'orthogonal respectifs orthogonaux)

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Exercices

- Feuille 21 (espaces euclidiens), exercice 2 (quelques exemples et contre-exemples de produits scalaires), 5 (projection orthogonale sur un sous-espace comme minimiseur d'une distance), 6 (détermination de base orthonormales de petits espaces à l'aide de Gram-Schmidt).

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Cours

Chapitre 35 - Espaces euclidiens

• III. Orientation d'un espace euclidien.
  • Orientation d'un R-espace vectoriel.
    • relation d'équivalence "être de même sens" sur l'ensemble des bases.
    • deux "classes d'équivalences" (bien que ce vocabulaire n'a pas été employé)
    • par définition, orienter l'espace, c'est faire le choix de l'une des deux classes, dont les éléments seront appelée "bases directe"
  • Matrice de changement de base orthonormale.
    • Étant donné une base orthonormale B0 fixée, caractérisation sur la matrice de passage de B0 à B du fait que la base est orthonormale.
  • Groupe orthogonal.
    • Définition d'une matrice orthogonale
    • Définition de O_n(R).
    • Structure de sous-groupe de GL_n(R)
    • Déterminant d'une matrice orthogonale.
    • Définition de SO_n(R). Structure de groupe.
  • Déterminant en base orthonormale directe.
    • Indépendance du déterminant d'une famille de vecteurs par changement de base orthonormale directe.
    • Notation Det, ou [ , , , ] (produit mixte).
  • Produit vectoriel.
    • Définition du produit vectoriel dans un espace euclidien orienté de dimension 3 (à l'aide de Det et de la caractérisation des formes linéaires dans un espace euclidien à l'aide du produit scalaire).
    • Calcul en base orthonormale directe.
    • Propriétés (bilinéarité, antisymétrie, CNS de colinéarité...)

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Cours

Chapitre 35 - Espaces euclidiens

• II. Dans ce paragraphe, E est un espace euclidien.
  • 1. base orthonormale.
    • procédé d'orthonormalisation de Gram-Schmidt.
    • théorème de la base orthonormale incomplète.
    • existence de bases orthonormales dans un espace euclidien.
  • 2. Supplémentaire orthogonal.
    • Dans un espace euclidien, l'orthogonal d'un sous-espace F en est un supplémentaire.
    • Double-orthogonal.
    • Expression de toute forme linéaire à l'aide d'un produit scalaire.
  • 3. Projecteur orthogonaux.
    • Définition d'un projecteur orthogonal sur un sous-espace F.
    • Expression à l'aide d'une base orthonormale de F (ou d'une base de l'orthogonal de F)
  • 4. Symétries orthogonales.
    • Définition.
    • Expression à l'aide d'une base orthonormale de F (ou d'une base de son orthogonal).
    • Cas particulier d'une réflexion (symétrie par rapport à un hyperplan).

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Cours

Chapitre 35 - espaces euclidiens Dans tout le chapitre, E est un R-espace vectoriel.

• I. Généralités.
  • 1. Produit scalaire.
    • Définition d'une forme bilinéaire, d'une forme bilinéaire symétrique, d'une forme bilinéaire symétrique positive, d'un produit scalaire.
    • Produit scalaire canonique sur R^n, sur C([a,b]).
    • Définition d'un espace préhilbertien, d'un espace euclidien (=préhilbertien de dimension finie).
  • 2. Norme euclidienne.
    • Inégalité de Cauchy-Schwarz (cas d'égalité vu, mais non exigible).
    • Inégalité de Minkovsky (cas d'égalité cu, mais non exigible).
    • Définition d'une norme sur un R-espace vectoriel (homogénéité, positivité, séparation).
    • Norme euclidienne
    • Distance euclidienne associée (inégalité triangulaire pour une distance, séparation), invariance par transkation de la distance euclidienne.
    • Règle de calcul avec les carrés de norme euclidienne (carré de la norme d'une somme, identités de polarisation, identité du parallélogramme)
  • 3. Familles orthogonales, orthonormale.
    • Définition d'une famille orthogonale (finie), d'une famille orthonormale.
    • Théorème de Pythagore (et réciproque pour une famille de 2 vecteurs)
    • Une famille orthogonale de vecteurs tous non nul est libre.
  • 4. Orthogonal d'un sous-espace vectoriel.
    • Définition.
    • Structure d'espace vectoriel.

Questions de cours

- Inégalité de Cauchy-Schwarz (sans l'étude du cas d'égalité).
- Inégalité de Minkowsky (à partir de l'inégalité de Cauchy-Schwarz).

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Cours

Chapitre 34 - Propriétés métriques de courbes

• II.
  • 1. Repère de Frenet.
  • 2. Courbure.
      relation dT/ds=cN, dN/ds=-cT
      expression de la vitesse et de l'accélaration dans le repère de Frenet (dans un paramétrage non normal)
      expression de la courbure dans un paramétrage non normal.
      un arc est birégulier ssi sa courbure ne s'annule pas.
  • 3. Angle polaire.
      théorème de relèvement (expression en complexe, et dans le plan euclidien)
      dx/ds=cos a, dy/ds=sin a.
      da/ds=c
      (une mesure régulière de) l'angle polaire est un paramétrage admissible si l'arc est birégulier.

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Exercice

Révision: Étude d'une courbe paramétrée (branches infinies, points singuliers)

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Cours

Chapitre 34 - Propriétés métriques de courbes

Dans tout ce chapitre, les courbes sont considérée comme aussi régulière que nécessaire (de classe C^k pour k suffisamment grand), sans point double, sans point singulier.

• I. Paramétrage.
  • 0. Préliminaire.
    • notion intuitive de propriété (ou quantité) géométrique d'une courbe: ne dépendant "que du dessin".
    • matérialisation : propriété (ou quantité) invariante par changement de paramétrage.
  • 1. C^k Difféomorphisme entre intervalles de R.
    • Définition.
    • Caractérisation.
  • 2. Changement de paramétrage admissible.
  • 3. Paramétrage normal, abcisse curviligne.
    • Définition d'un paramétrage normal.
    • Existence.
  • 4. Longueur d'une courbe.
    • Définition via l'abcisse curviligne, ou un paramétrage quelconque.
    • Invariance par changement de paramétrage admissible.
  • 5. Longueur algébrique d'une courbe.
    • Notion d'arc orienté (seulement les difféomorphismes croissants sont acceptés comme changement de paramétrage admissible).
    • Origine, extrémité.
    • Longueur algébrique entre deux points d'un arc paramétré.

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Cours

Chapitre 33 - Déterminants - systèmes linéaires

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Cours

Chapitre 32 - Matrices et opérations élémentaires*
...

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Cours

Chapitre 32 - Matrices et opérations élémentaires

• II. Opérations élémentaires sur les colonnes.
  • Diverses opérations liées à une multiplication à droite par une matrice élémentaire.
• III. Rang d'une matrice.

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Cours

Chapitre 32 - Matrices et opérations élémentaires

• I. Opérations élémentaires sur les lignes.
  • Multiplication d'une ligne par un scalaire non nul
    • Interprétation matricielle (matrices de dilatation).
  • Ajout à une ligne d'un multiple scalaire d'une autre ligne
    • Interprétation matricielles (matrices de transvection).
  • Échanges de deux lignes.
    • Interprétation matricielle (matrices de transposition)
  • Résolution d'un système linéaire par la méthode du pivot de Gauss.

Exercices

• Calculs de développements limités.

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Cours

Chapitre 31 - Sous-espaces affines d'un espace vectoriel

• Définition d'un sous-espace affine. Direction d'un sous-espace affine.
• Intersection de sous-espace affines.
• Image réciproque d'un singleton par une application linéaire (structure de l'ensemble des solution d'une équation de la forme u(x)=b où u est linéaire)

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Cours

Chapitre 30 - Formules globale de Taylor

• Formule de Taylor avec reste intégral.
• Formule de Taylor-Lagrange.

Exercices

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Cours

Chapitre 29 - Développements limités

• II. Opérations sur les DL.
  • 5. Intégration d'un DL.
    • Dérivation d'un DL ???
  • 6. DL de (1+x)^a
• III. Points singulier de courbes paramétrées.
  • Étude des types de points singuliers d'une courbe paramétrée (point d'allure normale, point d'inflexion, point de rebroussement de première espèce, point de rebroussement de seconde espèce).

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Cours

Chapitre 29 - développements limités

• 5. Intégration d'un DL
  • Formule de Taylor-Young.
  • DL(0) de exp, sh, ch, sin, cos.
  • DL(0) de Arctan, Argth.
  • DL(1) de ln.

Exercices

- Feuille 16, exercice 10 (calculs de primitives à l'aide d'IPP ou de changement de variable).

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Cours

Chapitre 29 - développements limités
I est un intervalle de R contenant au moins 2 points, et x0€I. on considère des fonctions de I dans R ou C

• I. Définition.
  • Définition de la phrase "f admet un développement limité à l'ordre n au voisinage de x0".
  • Unicité du développement limite.
  • exemple du DL(0) de 1/(1-x)
  • Partie principale, reste du DL.
  • Comment se ramener à un DL au voisinage de 0.
  • Troncature d'un DL (comment obtenir un DL à un ordre inférieur).
• II. Opérations sur les développpement limités.
  • 1. sommes (et combinaisons linéaires) de DL_n(x0).
  • 2. produits de DL(x0).
  • 3. composition de DL.
    • application: inverse d'un DL.
    • DL de 1/(1+x^2), 1/(1+x).
  • 4. Intégration d'un DL (à finir)

Exercices

- Feuille 16 (intégration), exercice 16 (fin), exercice 15 (intégrales de Wallis, et détermination de la constante intervenant dans la formule de Stirling, en admettant l'existence d'une telle constante). exercice 12.

Question de cours

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Exercices

- Feuille 16 (Intégrale), exercice 6 (minoration du nombre de zéros d'une fonction continue réelle donc les coefficients de Fourier d'ordre 1 s'annulent), exercice 7 (calcul de quelques limites à l'aide du théorème relatif aux sommes de Riemann pour une subdivision régulière), exercice 16 (fonction définie implicitement à l'aide d'une intégrale entre deux bornes d'une fonction continue).

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Cours

Chapitre 28 - Matrices

• I. Généralités.
  • 7. Matrice d'une famille finie de vecteurs.
    • Matrice d'une famille finie de vecteur (x1,...,xm) relativement à une base donnée E.
    • Si u est une application linéaire de E dans F, expression de la matrice de la famille (u(x1),u(x2),...,u(xm)) dans la base B2 de F, en fonction de la matrice de u relativement aux base B1 et B2, et de la famille (x1,...,xm) relativement à la base B1.
  • 7. Matrice d'une famille finie de formes linéaires.
    • Matrice d'une famille finie de formes linéaires (f1,...,fm) sur E relativement à une base donnée E.
    • Si u est une application linéaire de G dans E, expression de la matrice de la famille (f1°u, f2°u,...,fm°u) dans la base B2 de F, en fonction de la matrice de u relativement aux base B1 et B2, et de la famille (f1,...,fm) relativement à la base B1.
• II. Changement de base.
  • 1. Matrice de changement de base et changement de base pour les coordonnées d'un vecteur.
    • Dans ce paragraphe, E est un K-ev de dimension finie, muni de deux bases B et B'.
    • Définition de la matrice de passage de B à B' (matrice de l'application Id_E relativement à B' et B, ou encore Matrice dont le i-ième vecteur colonne est le vecteur des coordonnées dans B du i-ième vecteur de B').
    • Si x est un vecteur dont le vecteur colonne des coordonnées dans B (resp: B') est X (resp X'), et P la matrice de passage de B à B', alors X=PX'.
  • 2. Changement de bases et applications linéaires.
    • Si E et F sont chacun muni de deux bases (respectivement: B et B', C et C'), si u est une application linéaire de E dans F, si P (resp: Q) est la matrice de passage de B à B' (resp: de C à C'), et M (resp: M') la matrice de u relativement à B et C (resp: relativement à B' et C'), alors M'=Q^{-1} M P et donc M=Q M P{-1}.

Exercices

- Feuille 16 (intégrales) exercice 2 (CNS pour une fonction à valeurs complexes sur un segment pour pouvoir permuter module et intégrale).

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Cours

Chapitre 28 - Matrices

• I. Généralités.
  • 3. Transposée.
    • Définition de la matrice transposée d'une matrice M.
    • Transposée d'une transposée.
    • Linéarité de la transposition.
    • Transposée d'un produit.
  • 4. Matrices carrées.
    • Définition.
    • Anneau M_n(K) des matrices carrées n×n.
    • Matrices symétriques, antisymétriques (structures de s-e-v supplémentaires si K=R ou C).
    • Matrice d'un endomorphisme relativement à une base. Isomorphisme d'anneaux (et de K-ev) entre l'ensemble des endomorphisme d'un espace E muni d'une base B et celui des matrices.
    • Pour une matrice carrée, les notion d'inversibilité, d'inversibilité à gauche et d'inversibilité à droite coïncident.
    • Groupe linéaire GL_n(K).
  • 5. Matrices diagonales.
    • Définition.
    • Structure de sous-espace vectoriel et de sous-anneau commutatif de l'ensemble des matrices diagonales (expression du produit de deux matrices diagonales).
  • 6. Matrices triangulaires.
    • Définition d'une matrice triangulaire (supérieure), d'une matrice triangulaire supérieure stricte, d'une matrice triangulaire inférieure, d'une matrice triangulaire inférieure stricte.
    • Produit de deux matrices triangulaires supérieure (et expression des coefficients diagonaux du produit).

Travaux dirigés

- Décomposition en éléments simples d'une fraction rationnelle. Méthode de calcul des coefficients lorsque les pôles sont réels et simples.
- Primitivation d'une fonction rationnelle. Exemple avec x→1/((1+x²)×(x-1)).
- Primitivation d'une fonction de la forme cos^p×sin^q

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Cours

Chapitre 28 - Matrices

• I. Généralités.
  • 1. Rappels.
    • Définition de M_n,p(K).
    • Structure de K-espace vectoriel.
    • Base canonique. Dimension de M_n,p(K).
    • Matrice et application linéaire de K^p dans K^n canoniquement associées.
    • Si E est de dimension p et F de dimension n, matrice de u€L(E,F) relativement à deux bases fixées de E et F. Isomorphisme associé.
  • 2. Produit matriciel.
    • Expression de la matrice d'une composée.
    • Définition du produit matriciel: compatibilité (par définition) avec la composition d'applications linéaires.
    • Bilinéarité, associativité du produit.

Exercices

- Feuille 16 (Intégration), exercice 1 (intégrale entre deux borne de la partie entière, fonction en escalier), exercice 2 (à quelle condition peut-on permuter valeur absolue et signe intégral pour une fonction continue sur un segment), exercice 3, exercice 5

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Cours

Chapitre 27 - Intégration

• IV. Intégrale entre deux bornes
  • Théorème fondamental de l'analyse.
  • Intégration par partie pour des fonctions de classe C¹.
  • Changement de variable C¹ pour une fonction continue.

Exercices

- Feuille 15 (polynômes), exercice 9, 14 et 15.

Questions de cours

- Soit f une fonction continue sur un intervalle I. On pose . Montrer que F est dérivable à droite et que F'_d=f.

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Cours

Chapitre 27 Intégration

• III (retour). Intégrale d'une fonction sur un segment.
  • Inégalité pour f continue par morceaux. (le cas d'égalité n'a pas été vu en cours).
  • Inégalité de la moyenne.
  • Limite des sommes de Riemann.

Exercices

- Feuille 15 (polynômes), exercices 1.1, 1.2, 1.4, 1.5 (calcul de reste d'une division euclidienne).
- Feuille 15, exercice 3: étude d'un endomorphisme de R_2[X].

Question de cours

- Soit f un fonction k-lipschitzienne sur un segment [a,b], et a0<a_1<...<a_n la subdivision régulière à n+1 points de [a,b]. Majorer par

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Cours

Chapitre 27 - Intégration

• II. Intégrale d'une fonction en escalier.
  • additivité de l'intégrale par rapport à l'intervalle d'intégration.
• III. Intégrale sur un segment d'une fonction continue par morceaux.
  • définition.
  • propriétés: linéarité, positivité, croissance.
  • l'intégrale sur un segment d'une fonction positive continue est nulle ssi la fonction est identiquement nulle sur le segment.
• IV. Intégrale entre deux bornes d'une fonction continue par morceaux.
  • Définition.
  • Propriété: linéarité, relation de Chasles.

Exercices

- Feuille 14 (dérivabilité), exercice 2.9 (dérivée n-ieme de Arctan) et exercice 18 (autour de limites en l'infini avec une fonction convexe).

Question de cours

- Soit f une fonction continue par morceaux sur un segment a,b, E l'ensemble des fonctions en escalier inférieures à f, et F l'ensemble des fonctions en escalier supérieures à F. Montrer que (pour des raisons de temps, l'inégalité en sens inverse ne fait pas partie de la question de cours).

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Cours

Chapitre 27 - Intégration

• II. Intégrale de fonctions en escalier.
  • Intégrale d'une fonction en escalier sur [a;b] (démonstration de l'indépendance de l'intégrale vis-à-vis de la subdivision choisie).
  • Linéarité de l'intégrale.
  • Positivité et croissance de l'intégrale.

Exercices

- Feuille 15, exercice 12 (question 3 à 7): relations de récurrence, degré, parité et coefficient dominant, et équation différentielle vérifiée par les polynômes de Tchebyschev,
- Feuille 15, exercice 7: polynôme dérivé d'un polynôme scindé sur R.

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Cours

Chapitre 27 - Intégration

• I. Fonctions "régulières par morceaux".
  • 1. Subdivision.
    • définition d'une subdivision d'un segment [a,b]
    • notion de subdivision plus fine.
    • "union" de deux subdivisions.
  • 2. Fonctions en escaliers.
    • Définition d'une fonction en escalier sur un segment [a,b]. Notion de subdvision adaptée.
    • Si f est une fonction en escalier, tout subdivision plus fine qu'une subdivision adaptée à f est encore adaptée à f.
    • Structure de sous-espace vectoriel de l'ensemble Esc([a,b], R) des fonctions en escalier.
  • 3. Fonctions continues par morceaux.
    • Définition d'une fonction continue par morceaux sur [a,b].
    • même plan de la suite du paragraphe que le paragraphe précédent
    • Approximation (encadrement) uniforme d'une fonction continue par morceaux par deux fonctions en escalier.

Exercices

- Feuille 15 (polynôme), début de l'exercice 12 (définition, existence et unicité des polynômes de Tchebyschev).
- Feuille 14, exercice 11.1 et 11.2 (exemple d'une fonction de classe C°°, strictement positive sur R+*, nulle sur R-.)

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Cours

Chapitre 26 - Polynômes

• IV. Polynômes scindés.
  • relations coefficients-racines d'un polynôme scindé.
  • Théorème de d'Alembert-Gauss ou théorème fondamental de l'algèbre (admis)
  • Tout polynôme sur C est scindé.
  • Définition de l'irréductibilité d'un polynômes.
  • Décomposition en produit de polynômes irréductibles.
  • Description des polynômes irréductibles de C[X].
  • Description des polynômes irréductibles de R[X].
  • Factorisation (sur C et sur R) de X^n-1.

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Cours

Chapitre 26 - Polynômes

• II. Arithmétique des polynômes
  • Théorème de la division euclidienne (démonstration).
• III. Fonctions polynomiales.
  • 1.Généralités
    • Définition d'une fonction polynomiale.
    • L'application qui à un polynôme associe sa fonction polynomiale est un morphisme d'anneau et une application linéaire surjective.
    • Définition d'une racine (ou zéro) d'un polynôme.
    • Factorisation d'un polynôme ayant a pour racine par X-a (plus généralement: le reste de la division euclidienne de P par X-a est ~P(a) - où ~P désigne la fonction polynomiale associée au polynôme P.
    • Un polynôme de degré n ayant au moins n+1 racines est le polynôme nul.
    • Un polynôme ayant une infinité de racines est le polynôme nul.
    • Isomorphisme entre polynômes et fonctions polynomiales associées.

Exercices

- Feuille 14, exercice 2 (calcul de quelques dérivées n-ièmes)
- Feuille 14, exercice 10 (théorème de Darboux)

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Cours

Chapite 26 - Polynômes

• I. Généralités.
  • Dimension de K_d[X].
• II. Arithmétique des polynômes.
  • Notion de divisivibilité. Diviseurs d'un polynôme.
  • Les éléments inversibles de K[X] sont les polynômes constants non nuls.
  • Définition d'un polynôme unitaire.
  • La relation de divisivilité est réflexive et transitive.
  • Sur l'ensemble des polynômes unitaires, la relation de divisibilité est antisymétrique.
  • Théorème de division euclidienne (énoncé).
  • Les notions de PGCD, PPCM, et de polynômes premiers entre eux, ne sont pas au programme de PCSI

Exercices

- Feuille 14, exercice 7 (le nombre de zéros d'une fonction périodique augmente - au sens large - par dérivation)
- Feuille 14, exercice 15 (groupe des difféomorphismes de R)

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Cours

Chapitre 26 - Polynômes

• I. Généralités. 1. Une construction de K[X] les élèves n'ont pas à être interrogés sur cette section
  • Notion de support d'une suite.
  • Sous-espace vectoriel des suites à supports finis.
  • Produit de Cauchy de deux suites: commutativité, associativité, élément neutre.
  • Anneau des suites pour le produit de Cauchy (la terminologie de "série formelle" n'a pas été évoquée, et est hors programme).
  • Stabilité de l'espace des suites à support fini par produit de Cauchy.
  • Notation de X pour la suite (0,1,0,0,....).
  • Notation de K[X] pour l'espace (et l'anneau) des suites à supports finis, désormais appelés polynômes (à une indéterminée).
  • 2. Opérations sur les polynômes.
    • Structure d'anneau et de K-espace vectoriel de K[X]
    • degré et valuation. coefficiant dominant.
    • degré et valuation d'une somme, d'un produit.
    • K[X] est un anneau intègre.
    • Composé P(Q) de deux polynômes P et Q. Justification de la notation P=P(X).
    • degré d'un composé.
    • Espace vectoriel K_d[X] des polynôme de degré inférieur ou égal à d.

Exercices

- Étude de la fonction x→ Arcsin(2x*racine(1-x²)).
- Minoration du nombre de zéros d'une dérivée k-ième d'une fonctions dont on connaît le nombre de zéros.
- Étude de l'existence d'un prolongement C¹ sur R+* de la fonction f définie par f(x)=ln(x)/(x-1).

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Cours

Chapitre 25 - Fonctions convexes

• I. Généralités
  • Définition d'une fonction convexe.
  • image d'un barycentre de n réels à coefficients positifs par une fonction convexe.
  • Relation entre les 3 pente de corde reliant trois points fixés.
  • croissance du taux de variation en un point fixé d'une fonction convexe.
• II. Fonctions convexes et dérivabilité.
  • Une fonction f dérivable sur I est convexe si et seulement si f' est croissante.
  • Une fonction f deux fois dérivable sur I est convexe si et seulement si f'' est positive.
  • Une fonction convexe est au-dessus de ses tangentes (et inégalité associée).
• III. Applications.
  • définition d'une fonction concave (et propriétés)
  • convexité de l'exponentielle et inégalité exp(x) >= 1+x.
  • concavité du logarithme népérien et inégalité ln(1+x) <= x.
  • encadrement de sin x par deux fonctions linéaire pour 0<x<pi/2.
  • comparaison des moyennes harmonique, géométrie, arithmétique et quadratique de n réels strictement positifs donnés.

Question de cours

- Soit f:I→R une fonction convexe, et x1, x3, x2 trois éléments de I (rangés strictement dans cet ordre). Montrer que .

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Cours

Chapitre 24 - Dérivabilité

• III. dérivées multiples
  • 3. Produit et dérivée multiple.
    • Formule de Leibnitz (démonstration terminée)
  • 4. Composition de fonctions "régulières".
• IV. Fonctions à valeurs complexes.
  • Rappel de deux définitions équivalentes de la limite d'une fonction (de la variable réelle) à valeurs dans C.
  • Dérivabilité.
  • Structure de C-espace vectoriel des espaces D^k(I,C) et C^k(I,C).
  • Formule de Leibnitz.
  • Contre-exemple au théorème de Rolle.
  • Inégalités des accroissements finis pour une fonction à valeurs complexes.
  • si g:J→C est de classe C^k et f:i→J est de classe C^k, alors g o f aussi (et (g o f)'=(g' o f)f').
  • si f:I→C est de classe C^k, exp o f aussi et (exp o f)'=(exp o f)×f'

Devoir

Interrogation de cours n°7 (algèbre linéaire, 30min).

Exercices

Feuille 13 (algèbre linéaire): Exercices 24 (minoration du rang d'une composée d'applications linéaires) et 25 (expression d'une application linéaire de rang 1 à l'aide d'un vecteur fixe et d'une forme linéaire).

Question de Cours

- Énoncé et démonstration de la formule de Leibnitz

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Cours

Chapitre 24 - Dérivabilité

• II. Autour du théorème des accroissement finis.
  • 6. Caractérisation des fonctions constantes.
  • 7. Dérivabilité d'un prolongement.
    • Si f est une application continue sur [a,b], de classe C¹ sur ]a,], et tel que lim f'=L en a, alors f est de classe C¹ sur [a,b] et f'(a)=L.
• III. Dérivées multiples.
  • 1. Définitions et premières propriétés.
    • Définition de D^k(I,R), de la dérivée k-ième. Définition de C^k(I,R), de C°°(I,R)
    • Structure de sous-espace vectoriels des ensembles précités.
  • 2. Produits et dérivée multiple.
    • Formule de Leibnitz (démonstration à terminer)

Exercices

- Feuille 13 (algèbre linéaire), exercices 13, 22, 23

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Cours

Chapitre 24 - Dérivabilité Dans tout le chapitre, I est un intervalle de R non vide et non réduit à un point. On considère en général des fonctions définies sur I à valeurs réelles.

• I. Généralités.
  • 1. Définitions et premières propriétés.
    • Définitions équivalentes de la dérivabilité d'une fonction f en un point x0€I:
      • par un taux d'accroissement.
      • par l'existence d'un développement limité à l'ordre 1.
    • Dérivabilité à gauche; dérivabilité à droite; lien avec la dérivabilité ordinaire
    • Ensemble D(I) des fonctions dérivables sur I.
    • Ensemble C¹(I) des fonctions de classe C¹ sur I.
  • 2. Opérations usuelles.
    • Structure de sous-anneau et de sous-espace vectoriel de l'ensemble des fonctions dérivables en un point fixé; de l'ensemble des fonctions dérivables sur I; de l'ensemble des fonctions de classe C¹ sur I.
    • Composition et dérivabilité "ponctuelle".
    • Composition de fonctions dérivables; composition de fonctions de classe C¹
  • 3. Dérivabilité et bijection réciproque.
    • CNS de dérivabilité pontuelle d'une fonction injective et dérivable sur donc ensemble de définition.
    • Expression de la dérivée d'une bijection réciproque.
    • Difféomorphismes.
• II. Autour du théorème des accroissement finis.
  • 1. Condition nécessaire d'extremum local d'une fonction dérivable.
  • 2. Théorème de Rolle.
  • 3. Théorème des accroissement finis (égalité).
  • 4. Monotonie et dérivabilité.
    • CNS de monotonie d'une fonction dérivable.
    • Condition suffisante de monotonie stricte (f'>0 sauf peut-être en un nombre fini de points).
  • 5. Inégalité des accroissements finis.
    • Enoncé. - Application à l'étude de certaines suites récurrentes.

Exercices

- Feuille 13 exercice 21

Question de cours

- Théorème de Rolle

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Exercices

- Feuille 13 (espaces vectoriels et applications linéaires), exercices 16, 18, 19, 20.

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Cours

Chapitre 23 - Applications linéaires en dimension finie

• II. Rang d'une application linéaires.
  • 5. Caractérisation des isomorphismes entre espaces de même dimension finie.
    • Soient E et F deux espaces vectoriels de même dimension finie n, et u une application linéaire de E dans F. Les assertions suivantes sont équivalentes:
      • u est un isomorphisme.
      • u est injectif.
      • u est surjectif.
      • rg u=n
      • dim Ker u=0
      • Ker u = {0}
      • u est "inversible bilatéralement" pour o.
      • u est "inversible à droite" pour o.
      • u est "inversible à gauche" pour o.

Exercices

- Feuille 13 (espaces vectoriels et applications linéaires), exercices 9 (déterminer des équations linéaires décrivant des sous-espaces de R^4 donnés par une famille génératrice) et 10 (calcul explicite d'une projection entre deux sous-espaces supplémentaires de R^4).

Question de cours

- Soit F un sous-espace vectoriel de R^3 ou R^4. Déterminer des équations linéaires définissant F

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Cours

Chapitre 23 - Applications linéaires en dimension finie

• I.
  • 3. Image d'une base par une application linéaire.
    • Dimension de L(E,F) si E et F sont de dimension finie.
  • 4. Formes linéaires.
    • Définition d'une forme linéaire.
    • Dimension de E* (dual de E: ensemble des formes linéaires)
    • Formes linéaires coordonnées (selon une base donnée de E)
  • 5. Matrice d'une application linéaire.
    • Matrice d'une application linéaire u:E→F entre espaces de dimension finies, relativement à deux bases données. (Justification de la cohérence d'une telle définition).
    • Définition de M_{n,p}(K) (ensemble des matrices n×p à coefficients dans K).
    • Structure d'espace vectoriel.
    • Dimension de M_{n,p}(K).
    • Symbole de Kronecker. Matrice I_n (identité) de M_n(K).
    • Base canonique de M_{n,p}(K).
    • Étant donné deux bases respectivement de E et de F, L'application qui à une application linéaire u associe sa matrice relativement aux deux bases précitée est un isomorphisme d'espaces vectoriel.
    • Expression de u(x) en fonction des coefficients de la matrice de u dans une base donnée.
    • Produit Matrice×vecteurs colonnes : (A,X)→AX. « Compatibilité » avec l'évaluation (u,x)→u(x).
• II. Rang d'une application linéaire.
  • 1. Définition.
    • Définition de la notion de rang fini.
    • Rang d'une application linéaire.
    • Le rang d'une famille de vecteur est le rang de l'application associée (= celle qui est injective ssi la famille est libre, et surjective ssi la famille est génétrice).
  • 2. Propriétés.
    • Inégalité sur le rang d'une composée de deux application linéaires.
    • Invariance du rang par composition (à gauche et à droite) par un isomorphisme.
  • 3. Théorème du rang.
    • Une application linéaire u:E→F induit un ismomorphisme d'un supplémentaire du noyau sur Im u.
    • Théorème du rang.

Questions de cours

- (demi-question): déterminer la matrice d'une application linéaire (de R^n dans R^p avec n et p petits) du choix de l'examinateur relativement aux bases canoniques.
- Si u:E→F est une application linéaire, et G est un supplémentaire de Ker u, alors l'application ü:G->(Im u) induite par u est un ismorphisme.

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Concours blanc

DS n°7.

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Cours

Chapitre 22 - Applications linéaires

• III. Quelques exemples généraux d'applications linéaires.
  • 2. Symétries.
    • Symétrie par rapport à F parallèlement à (ou: de direction) G.
    • Propriétés (linéarité, expression de F et G comme noyau et image d'une application linéaire, involution).
    • Correspondance entre la symétrie et la projection sur F parallèlement à G.
    • Définition d'une symétrie de E (endomorphisme involutif).
    • Lien entre la définition algébrique et la définition géométrique d'une symétrie.
  • 3. Affinités.
    • Définition de l'affinité par rapport à F, de direction G et de rapport µ.
    • Linéarité, et caractérisation de F et G à l'aide de l'affinité.

Chapitre 23 - Applications linéaires en dimension finie

• I.
  • 1. Image d'une famille par une application linéaire.
    • Rappels :
      • image d'une famille génératrice par une application linéaire surjective;
      • image d'une famille libre par une application linéaire injective.
    • Image d'une base par un isomorphisme.
  • 2. Isomorphisme entre K^n et E (K-ev de dimension n).
    • Si E est de dimension n, K^n et E sont isomorphes.
    • Si E et F sont deux espaces de même dimension finie, ils sont isomorphes.
  • 3. Image d'une base par une application linéaire.
    • étant donné une base (e1,...,en) de E et une famille (f1,...,fn) de F, il existe une unique application linéaire u telle que u(e_i)=f_i pour tout i.
    • isomorphisme entre L(E,F) et F^n si E est de dimension n.

Exercices

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Cours

Chapitre 22 - Applications linéaires

• I. Applications linéaires
  • 5. Le groupe linéaire.
    • Définition de GL(E).
    • Structure de groupe; deux démonstrations:
      • groupe des éléments inversibles de l'anneau L(E)
      • sous-groupe du groupe des permutations de E.
• II. Applications linéaires et famille de vecteurs.
  • Une famille de vecteurs dont l'image (par une application linéaire) est libre est également libre.
  • l'image d'une famille libre de vecteurs par une application injective est libre (énoncé contraposé avec des familles liées).
  • l'image d'une famille génératrice par une application linéaire u engendre Im(u). Cas d'une application surjective (et réciproque).
• III. Quelques exemples généraux d'applications linéaires.
  • Dans ce paragraphe, K=R ou C. F et G sont deux supplémentaires d'un K-espace vectoriel E.
  • 1. Projections.
    • Définition de la projection de F parallèlement à G (application de E dans E).
    • Linéarité d'une projection. Noyau. Image. Idempotence.
    • Définition d'un projecteur (endomorphisme idempotent).
    • Un projecteur p est la projection sur Im p parallèlement à Ker p.

Exercices

- Feuille 13, exercice 17 (exemple d'étude d'un projecteur de R³), exercice 7 (famille libre), exercice 8.1 (écriture d'un sous-espace donné par une base à l'aide d'équations linéaires).

Questions de cours

- Soient F et G deux sous-espaces supplémentaires d'un K-espace vectoriel E, et p la projection sur F parallèlement à G. Montrer que p est un projecteur (c'est-à-dire une endomorphisme idempotent de E), d'image F et de noyau G.
- Soit p un projecteur (c'est-à-dire un endomorphisme idempotent). Montrer que Im p est exactement l'ensemble des vecteurs invariant par p, que (Im p) et (Ker p) sont supplémentaires, et que p est la projection sur Im p parallèlement à Ker p.

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Cours

La coupure d'électricité du matin a eu raison du cours de maths avant qu'il ne commence à faire ses ravages. La séance a donc constitué en une série de questions (du prof) et de réponses (des élèves) en guise de mise en bouche aux révisions du concours blanc... enfin, il y a eu bien davantage de questions posées que de réponses... Heureusement, nous avons pu pour les TD emprunter en force la salle de cours vide d'une autre classe prépa, dont le sigle termine par un C...

Exercices

- Exercice 3.b (F, ensemble des fonctions affines, et G, ensemble des fonctions s'annulant en deux points distincts fixés, sont deux sous-espace supplémentaire du R-espace vectoriel des applications de R dans R).

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Cours

Chapitre 22 - Applications linéaires

• I. Applications linéaires.
  • 1. Définitions et premières propriétés.
    • Définitions équivalentes.
    • règles de calculs usuelles avec une application linéaire.
    • image d'une combinaison linéaire de n vecteurs par une application linéaire.
  • 2. Opérations sur les applications linéaires.
    • Définition et notation de L(E,F)
    • Structure d'espace vectoriel sur L(E,F)
    • Composée d'applications linéaires.
    • Structure d'anneau sur L(E)
  • 3. Applications linéaires et image directe.
    • Image d'une application linéaire (notation Im u).
    • Caractérisation de la surjectivité sur l'image.
    • Image d'un sous-espace vectoriel par une application linéaire.
  • 4. Applications linéaires et image réciproque.
    • Image réciproque d'un sous-espace vectoriel par une application linéaire.
    • Noyau d'une application linéaires.
    • Caractérisation de l'injectivité à l'aide du noyau.
  • 5. Isomorphismes.
    • Définition d'un isomorphisme (application linéaire bijective)
    • Isomorphisme réciproque (la bijection réciproque d'un isomorphisme est linéaire)

Exercices

- Feuille 12, Exercice 4 (recherche d'équivalents de fonctions).
- Feuille 13, Exercice 3 (exemple de sous-espaces supplémentaires).

Question de cours

- Montrer que l'ensemble L(E) des endomorphismes d'un K-espace vectoriel E est un anneau pour les lois + et °. L'élève peut utiliser le fait que L(E) est un espace vectoriel (donc un groupe additif)

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Cours

Chapitre 21 - Dimension finie

• I. Espaces vectoriels de dimension finie.
  • 5. Espaces vectoriels de dimension infinie.
    • Définition.
    • Caractérisation (existence d'une famille libre de cardinal arbitraire).
• II. Sous-espaces vectoriels de dimension finie.
  • 1. Définition
    • Définition.
    • Un sous-espace F d'un espace E de dimension finie est aussi de dimension finie, de dimension inférieure ou égale à dim E. De plus dim F=dim E si et seulement si E=F.
    • Rang d'une famille de vecteurs.
  • 2. Somme de sous-espaces vectoriels de dimension finie.
    • Si F et G sont deux s.e.v de dimension finie d'un e.v E, F+G aussi.
    • Existence d'une base de F+G adaptée à F et G.
    • Relation de Grassman: dim(F+G)=dim F+dim G-dim(F n G) ("n": inter)
  • 3. Supplémentaire en dimension finie.
    • Existence de supplémentaire d'un s.e.v dans un K-e.v de dimension finie.
    • Dimension d'un supplémentaire.

Exercice

- Feuille 12 exercice 8 (déterminer des base de sous-espaces de R^4 définis par des égalités).

Question de cours

- Soit E un espace vectoriel de dimension finie, et F un sous-espace vectoriel de E. Montrer que F admet un supplémentaire.

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Cours

Chapitre 21 - Dimension finie

• I. Espaces vectoriels de dimension finie.
  • 1. Comparaison des cardinaux des familles libres et génératrices.
    • Si (x[1],x[2],...,x[n]) est une famille génératrice de E à n éléments, toute famille (y[1],y[2],...,y[n],y[n+1]) à n+1 vecteurs est liée.
    • Si un espace vectoriel admet une base, toutes les bases ont même cardinal.
  • 2. Existence de bases en dimension finie.
    • Théorème de la base trop complète: toute famille finie génératrice de E possède une sous-famille qui est une base de E.
    • Définition de la dimension d'un espace vectoriel de dimension finie.
    • En dimension n, une famille génératrice est de cardinal supérieur ou égal à n, avec égalité si et seulement si c'est une base.
  • 3. Théorème de la base incomplète (en dimension finie).
    • Théorème de la base incomplète: toute famille libre peut être complétée en une base.
    • En dimension n, une famille libre est de cardinal inférieur ou égal à n, avec égalité si et seulement si c'est une base.
  • 4. Produit d'espaces vectoriels de dimension finie.
    • Dimension de E×F où E et F sont deux K-ev de dimension finie.

Exercices

- Feuille 12 exercice 12.7 (étude d'une suite récurrente).

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Cours

Chapitre 21 - Dimension finie

• I. Espaces vectoriels de dimension finie.
  • 1. Définition.
  • 2. Comparaison des cardinaux des familles libres et des familles génératrice.
    • Si (x[1],x[2],...,x[n]) est une famille génératrice de E à n éléments, toute famille (y[1],y[2],...,y[n],y[n+1]) à n+1 vecteurs est liée (démonstration à terminer).

Exercices

- Feuille 13 (espaces vectoriel), exercice 1 (étude de la présence d'un structure d'espace vectoriels sur quelques ensembles), exercice 8 (déterminer une famille génératrice de sous-espaces de R^4 décrits par des équations linéaires).

Question de cours

- Déterminer une famille génératrice d'un sous-espace F de R^4 (F du choix du colleur, décrit par des équations linéaires).

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Cours

Chapitre 19 - espaces vectoriels

• III. Famille de vecteurs.
  • 3. Base.
    • Définition d'une base (finie)
    • Base canonique de K^n.
    • "réunion" de deux bases de sous-espaces supplémentaire.

Chapitre 20 - Caractérisations séquentielles et comparaisons de fonctions

• I. Caractérisations séquentielles.
  • 1. Caractérisation séquentielle de la borne supérieure (d'une partie non vide de R)
    • Caractérisation séquentielle du caractère non-majoré d'une partie non vide de R
    • Caractérisation séquentielle de la borne supérieure d'une partie non vide et majorée de R.
    • Énoncés analogue avec les parties (non) minorée(s) et bornes inférieures
  • 2. Caractérisation séquentielle de la densité.
• II. Comparaisons de fonctions.
  • 1. Définition.
    • Définition des relations de domination, négligeabilité et d'équivalence de deux fonctions en x0.
  • 2. Propriétés usuelles.
    • Toutes les propriétés vues pour les relations de comparaison sur les suites.
  • 3. Composition à droite de relations de comparaison (propriétés parfois appelée "principe de substitution").
  • 4. Composition à gauche d'équivalents.
    • Si f~g, alors f^n~g^n.
    • Si f~g et si lim g=0 ou lim g=+oo, alors ln f~ ln g.
  • 5. Quelques équivalents usuels.
    • en 0: sin x, 1-cos x, ln(1+x), exp(x)-1.
    • en 1: ln u, Arccos u

Exercices

- Chapitre 12, exercices 12.1 et 12.2 (étude de suites récurrentes u(n+1)=sin(u(n)) et u(n+1)=cos(u(n))).

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Cours

Chapitre 19 - espaces vectoriels

• III. Famille de vecteurs.
  • 1. Familles libres.
    • Définition d'une famille (finie) libre, d'une famille liée.
    • Sous-famille d'une famille libre, sur-famille d'une famille liée.
    • Si, à une famille libre (f1, ... , fn), on ajoute un vecteur f{n+1}, la famille (f1,...f{n+1}) est liée si et seulement si f{n+1} est une combinaison linéaires des fk pour 1<=k<=n.
    • Si F et G sont deux sev en sommes directes, une "union" d'une famille libre de F et d'une famille libre G est une famille libre de E.
    • Traduction de la liberté d'une famille en terme d'injectivité d'une application de K^n dans E.
  • 2. Familles génératrices.
    • Définition d'une famille (finie) génératrice.
    • Sur-famille d'une famille génératrice.
    • Pour F et G sev, si A est une famille génératrice de F et B est une famille génératrice de G, alors l'"union" A U B est une famille génératrice de F+G.
    • Traduction du caractère générateur en termes de surjectivité d'une application de K^n dans E

Compléments du cours d'analyse - suites récurrentes

• Etude (théorique) d'une suite (u(n)) vérifiant une relation de récurrence de la forme u(n+1)=f(u(n)).
• Parties de R stables par f
• Monotonies de la suite sur des intervalles où f est croissante.
• Si f est décroissante sur J (stable par f) étude des suites extraites d'indices pair et impair, via la croissante de f o f.
• Etude du signe de f(x)-x pour l'étude de la monotonie de la suite un.
• En cas de continuité de f et d'existence de la limite L, alors f(L)=L.

Exercices

- Exercice 13 feuille 12.

Question de cours

- Montrer qu'une sous-famille d'une famille libre est libre.

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Cours

Chapitre 19 - espaces vectoriels

• II. Sous-espaces vectoriels par une partie.
  • 3. Sous-espace vectoriel engendré.
    • Intersection de sous-espaces vectoriels.
    • Sous-espace vectoriel engendré d'une partie F d'un espace vectoriel de E. Notation Vect(F)
    • Combinaison linéaire généralisée (de n vecteurs). Un sous-espace vectoriel est stable par combinaisons linéaires généralisées.
    • Vect(F) est l'ensemble des combinaisons linéaires généralisées d'éléments de F.
    • Vect(f1,f2,...,fn) (espace vectoriel engendré par une famille de vecteurs).
  • 4. Somme de sous-espaces vectoriels.
    • Définition de F+G lorsque F et G sont deux sous-espaces vectoriels de E.
    • F+G est un sous-espace vectoriel de E
    • F+G=Vect(F U G)
  • 5. Sous-espaces vectoriels supplémentaires.
    • Définition de sous-espaces vectoriels supplémentaires.
    • Caractérisation (à l'aide de la somme et de l'intersection).

Exercices

Feuille 12 exercice 3.d (discontinuité de la fonction indicatrice de Q), exercice 7 (existence d'un point fixe d'une fonction continue sur un segment à valeurs dans le même segment), exercice 8 (deux fonctions ne s'annulant et de carrés égaux sont égales ou opposées), exercice 9 (variante du fait qu'une fonction strictement positive sur un segment est minorée par un réel strictement positif).

Question de cours

- Montrer que Vect(F) - par définition, plus petit sous-espace vectoriel contenant la partie F du K-espace vectoriel E - est l'ensemble des combinaisons linéaires généralisée d'éléments de F. L'élève pourra admettre :

• d'une part qu'une combinaison linéaire de 2 combinaisons linéaires généralisées d'éléments de F est également une combinaison linéaire généralisée d'éléments de F.
• d'autre part qu'un sous-espace vectoriel est stable par combinaisons linéaires généralisées.

 

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Cours

Chapitre 19 - espaces vectoriels

• II. Sous-espaces vectoriels.
  • 1. Définition.
    • Si E est un K-ev et F une partie de E, les proposition suivantes sont équivalentes, et définissent la notion de sous-espace vectoriel de E :
      • F est non vide, stable par addition et par multiplication externe.
      • F est non vide et stable par combinaison linéaire.
      • les loi internes et externes de E induisent par restriction des lois sur F qui en font un K-espace vectoriel.
  • 2. Quelques exemples.
    • Une partie de R³ décrite par des égalités...
    • L'ensemble des application bornées sur un intervalle I (à valeurs dans R)
    • L'ensemble des suites de limite nulle.
    • L'ensemble des applications continues sur un intervalle I.
  • 3. Sous-espace vectoriel engendré.
    • Intersection de sous-espaces vectoriels (démonstration à faire)

Exercices

- Feuilles 12, exercices 2 et 3 (étude de la bornitude que quelques fonctions, détermination de l'ensemble des points de continuités d'autres fonctions).

Questions de cours

- Soit F une partie de E=R³ ou E=R^4 (partie décrite par des équations entre les coordonnées, partie au choix de l'examinateur). Montrer que F est un sous-espace vectoriel de E

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Cours

Chapitre 19 - espaces vectoriels

• I. Espaces vectoriels.
  • 1. Définition.
    • définition d'un K-espace vectoriel E.
    • premier exemple: E=K
  • 2. Première propriétés.
    • règles de calculs usuelles.
    • sommes de plusieurs vecteurs, etc.
  • 3. Espace vectoriel produit.
    • structure naturelle de K-espace vectoriel sur un produit cartésien E×F d'espaces vectoriels.
    • généralisation: structure d'espace vectoriel sur E^n (exemple: R², R³, ...)
    • structure d'espace vectoriel sur E^I (ensemble des applications définies sur un ensemble I à valeurs dans un espace vectoriel E).

Exercices

- Feuille 11 exercice 9.2 (endomorphismes de l'anneau R, morphismes croissants du groupe R), exercice 8 (structure d'anneau de l'ensemble des suites stationnaires).
- Feuille 12 exercices 1h, 1i (monotonie de sup(f,g) et inf(f,g) si f et g sont monotones), 1j, exercice 3a (discontinuité en 0 de x→sin(1/x))

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Cours

Chapitre 18 - fonctions réelles de la variable réelle, continuité
Les exercices de la colle du 26 au 30 janvier ne porteront pas sur ce chapitre, mais sur les 3 chapitres précédents (structures algébriques et suites réelles)

• III. Fonctions continues.
  • Une fonction lipschitzienne est continue.
  • 4. Continuité sur un segment.
    • Définition de la continuité sur une partie: Une fonction f:I->R est dit continue sur J (partie de I) si la restriction de f à J est une fonction continue.
    • Pour que f soit continue sur J, il suffit que f soit continue en tout point de J (la réciproque étant fausse).
    • Si f est continue sur un segment, elle y est bornée et atteint ses bornes (démonstration hors programme).
    • Si f est continue sur R et tend vers +oo en +oo et en -oo, alors f admet un minimum (résultat non supposé connu lors d'un écrit).
  • 5. Monotonie, injectivité et continuité.
    • (Rappel) Si f:I->R est strictement monotone, alors f est injective.
    • Lemme 1 : Si f:I->R est continue et injective, et x<y<z alors (ou bien f(x)<f(y)<f(z) ou bien f(x)>f(y)>f(z)).
    • Lemme 2 : Si f:I->R vérifie la conclusion du Lemme 1 pour tout x, y, z, alors f est strictement monotone.
    • Corollaire des deux lemmes: une fonction f:I->R continue et injective est strictement monotone.
  • 6. Injectivité et homéomorphie.
    • Définition d'un homéomorphisme de I sur J (intervalles de R) (bijection continue de réciproque continue).
    • Théorème de l'homéomorphisme : si I et J sont deux intervalles de R et f une bijection continue de I sur J, alors f est un homéomorphisme (démonstration faite, mais non exigible).

Exercices

- Feuille 12, exercices 1.a à 1.h (étude de la (stricte) monotonie de quelques fonctions).

Questions de cours

- Soit f une fonction continue de R dans R, tendant vers +oo en +oo et en -oo. Montrer que f admet un minimum
- Soit f:I->R une fonction continue et injective, et x1 < x2 < x3 dans I. Montrer que, ou bien f(x1) < f(x2) < f(x3), ou bien f(x1) > f(x2) > f(x3)

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Cours

Chapitre 18 - fonctions réelles de la variable réelle, continuité

• II. Étude locale d'une fonctions.
  • 5. Théorèmes des gendarmes et variantes.
    • une fonction encadrée par deux fonctions de même limite L en x0 admet également L pour limite en x0
    • une fonction majorée en valeur absolue par une fonction admettant 0 pour limite en x0 admet également 0 pour limite en x0
    • une fonction minorée par une fonction tendant vers +oo en x0 tend également vers +oo en x0
    • une fonction majorée par une fonction tendant vers -oo en x0 tend également vers -oo en x0
  • 6. Fonctions monotones et limites.
    • une fonction monotone admet des limites à gauche et à droite en tout point.
• III. Fonctions continues.
  • 1. continuité ponctuelle.
    • "traduction" des propriétés vues sur les limites - lorsque c'est possible - en terme de fonctions continues en un point x0.
  • 2. continuité (globale)
    • "traduction" des propriétés vues sur les limites - lorsque c'est possible - en terme de fonctions continues (globalement).
  • 3. Le théorème des valeurs intermédiaires.
    • Énoncé du théorème des valeurs intermédiaires sur un intervalle.
    • Démonstration lorsque "la valeur intermédiaire" est 0 et f(a)<0<f(b): par dichotomie (mise en oeuvre en TP d'informatique).
    • Démonstration dans les autres cas en se ramenant au premier cas.
    • Image d'un intervalle par une application continue.

Exercice

- Feuille 11 exercice 9.1 et 9.3: endomorphismes continus du groupe (R,+)

Questions de cours

- Soit f une fonction croissante sur un intervalle I, x0€I (x0 n'étant pas une borne supérieure de I). Montrer que f admet en x0 une limite à droite, et que cette limite est supérieure ou égale à f(x0).
- En supposant acquis le théorème des valeurs intermédiaires, montrer que l'image d'un intervalle par une application continue est un intervalle.

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Cours

Chapitre 18 - fonctions réelles de la variable réelle, continuité

• II. Étude locale d'une fonction.
  • 3. Composition de limites.
    • Composition de deux limites (y compris les cas de limites infinies, et/ou de limites en ±oo: 27 cas, dont 3 ont été démontrés).
    • Image par une application f ayant une limite en L d'une suite convergeant vers L.
  • 4. Caractérisation séquentielle de la limite.
    • Caractérisation séquentielle de la limite.

Exercices

Feuille 11, exercices 6, 5.1, 5.2.

Questions de cours

- Limite d'une composée de deux limites (finies) en des points finis (énoncé & démonstration).

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Cours

Chapitre 18 - Fonctions réelles de la variable réelles, continuité

• II. Étude locale d'une fonction.
  • 1. Limites.
    • Limite à gauche et à droite en en point x0 € [a,b] si I=(a,b).
    • Définition de la continuité en un point d'une fonction.
    • Caractérisation de la continuité à l'aide des limites à droites et à gauche.
    • Définition d'un prolongement en x0 par continuité.
    • Limites infinie en un point x0.
    • Limites finies en ±oo.
    • Limites infinies en ±oo
    • Cohérence de la notion de limites infinies au sens large (unicité de la limite au sens large)
  • 2. Opérations et propriétés sur les limites.
    • Notion de propriété vraie "au voisinage de x0€R", "au voisinage de +oo", "au voisinage de -oo".
    • Sous-espace vectoriel (non nommé) des fonctions de limite nulle en x0 (ou en +oo ou en -oo).
    • Produit d'une fonction bornée au voisinage de x0 par une fonction de limite nulle en x0.
    • Une fonction admettant une limite (finie) en x0 est bornée au voisinage de x0.
    • Opérations sur les limites : somme, produit, inverse.

Exercices

- Feuille 10 exercice 7 (autour de suites extraites).
- Feuille 10 exercice 11 (suites de limite nulle en forme canonique d'un trinôme de discriminant négatif).
- Feuille 11 exercice 4 (union de deux sous-groupes)
- Feuille 11 exercice 6.1 à finir (l'anneau Z[√2] et ses éléments inversibles).

Questions de cours

- Montrer que l'ensemble des périodes d'une fonction f donnée (ensemble incluant 0 ici) est un sous-groupe de (R,+).
- Soit I=(a,b) un intervalle de R et x0€]a,b[. Montrer que f est continue en x0 ssi f admet une limite à gauche et à droite en x0 et que ces limites valent f(x0)

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Pour les colles de la semaine du 19 au 24 janvier, ne sont exigibles du chapitre 18 que les définitions et énoncés de théorèmes abordés. Aucun exercice ne portera sur le chapitre 18.

Cours

Chapitre 18 - fonctions réelles de la variable réelle, continuité

• I. Généralités et Rappels.
  • 2. Fonctions bornées.
    • L'ensemble B(I,R) des fonctions bornées sur I est un sous-anneau de l'anneau (R^I, ¤).
  • 3. Taux d'accroissement et monotonie.
    • Somme de fonctions croissantes.
    • Produit de fonctions positives et croissantes.
    • Composée de fonctions (strictement) monotones.
  • 4. Parité.
    • Définition d'une fonction paire, impaire.
    • Somme de fonctions paires, de fonctions impaires.
    • Structure de sous-anneau de l'ensemble des fonctions paires.
  • 5. Fonctions périodiques.
    • Définition d'une fonction T-périodique, d'une fonction périodique, d'une période.
    • Une somme de fonctions périodique n'est pas nécessairement périodique.
    • Si T est fixé, l'ensemble des fonctions T-périodique est un sous-anneaux de R^R.
    • Composition à droite par une fonction périodique.
  • 6. Fonctions lipschtziennes.
    • Définition d'une fonction K-lipschitziennes.
    • Définition d'une fonction lipschitzienne.
    • Somme de fonctions lipshitziennes.
    • Exemple de fonctions lipschitzienne, exemple d'une fonction non lipschitzienne.
• II. Etude locale d'une fonction
  • 1. Limite.
    • Définition de "f(x) tend vers L lorsque x tend vers a". Unicité de L et définition de "lim_a f".
    • Equivalence de la définition précédente avec :
      • f(x)-L tend vers 0 lorsque x tend vers a.
      • |f(x)-L| tend vers 0 lorsque x tend vers a.
      • f(a+h) tend vers L lorsque h tend vers 0.

Exercices à faire pour lundi 19 janvier

- Montrer que l'ensemble des périodes d'une fonction f:R->R est un sous-groupe de (R, +)
- On pose f(x)=cos x et g(x)=cos(pi x). En admettant l'irrationalité de pi, montrer que f+g n'est pas périodique.
- Montrer qu'un produit de deux fonctions bornées et lipschitziennes est lipschitzien.

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Cours

Chapitre 18 - fonctions réelles de la variable réelle, continuité

• I. Généralités et rappels.
  • 1. Structures algébriques sur l'ensemble des fonctions de I à valeurs dans R
    • Structure d'anneau (non intègre). Condition d'inversibilité d'une fonction f pour la loi ×.
    • Structure d'espace vectoriel (évoquée, le fond étant reporté au prochain chapitre).
  • 2. Fonctions bornées.
    • Définition; fonction majorée, fonction minorée, fonction bornée.
    • Définition de (sup f), (inf f).
    • Somme de fonctions majorées et borne supérieure d'une somme.
    • Produit par un scalaire positif d'une fonction majorée et borne supérieure.
    • Définition d'un maximum (ou maximum global), d'un minimum (ou minimum global), d'un extremum.
    • Définition d'un maximum local (en un point intérieur de l'intervalle de définition), d'un minimum local (en un point intérieur), d'un maximum local strict, d'un minimum local strict.
    • Définition d'un maximum global strict, d'un minimum global strict.
  • 3. Taux d'accroissement.
    • Définition du taux d'accroissement en x0€I d'une fonction f.
    • Liens entre les propriétés de monotonie de f et le signe des taux d'accroissement.

Exercices

- Feuille 10 exercices 12.7 (calcul d'équivalent), 13.5 (lim (1+z/n)^n, z€C)

Question de cours

- Soient f et g I-->R deux fonctions bornées, et a un réel strictement positif. Montrer que f+g et af sont bornées, et que sup(f+g) <= sup f + sup g, puis que sup(af)=a sup(f)

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Cours

Chapitre 17 - Groupes, anneaux et corps

• IV. Corps.
  • Définition d'un corps.
  • Un corps est (en particulier) un anneau intègre.
  • Définition d'un sous-corps.
  • Un sous-corps est un corps pour les lois induites.
  • Intersection de sous-corps.

Exercice

- Feuille 11, exercice 4 (loi originale sur R² munissant R² d'une structure de groupe).
- Feuille 11 exercice 7 (exemple d'un sous-ensemble d'un anneau, anneau pour les lois induites, qui n'est pas un sous-anneau)
- Feuille 10, exercices 12.1, 12.3, 12.5 (calculs d'équivalents à l'aide de croissance comparée)

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Cours

Chapitre 17 - Groupes, anneaux et corps

• II. Anneaux.
  • 2. Sous-anneaux.
    • Définition d'un sous-anneau.
    • Structure d'anneau induite (sans réciproque).
  • 3. Propriétés sur les opérations d'un anneau.
    • Symbole (somme). Distributivité généralisée (à gauche, à droite, mixte avec deux symboles de sommations).
    • Caractère absorbant de l'élément nul.
    • Si n€Z, définition de n comme élément de l'anneau A; non-ambiguité de cette définition avec la notation additive nx.
    • Factorisation de x^n-y^n si x et y€A commutent; cas particulier où x=1_A.
    • Formule du binôme de Newton pour deux éléments qui commutent.
    • Définition d'un anneau intègre (commutatif par définition).
• III. "Opérations" sur les structures de groupe et d'anneau.
  • 1. Produit cartésien.
    • loi produit @ sur E×F, où (E,*) et (F,#) sont deux ensembles muni de LCI.
    • Groupe produit
    • Anneau produit
    • Un anneau produit n'est jamais intègre.
    • Généralisation à une puissance de la forme G^n (ou A^n).
  • 2. Ensemble des applications à valeurs dans un groupe ou un anneau (produit "très généralisé").
    • Structure de groupe (resp: d'anneau) sur G^E, ensemble des applications de E à valeurs dans G lorsque G est un groupe (resp: un anneau).
  • 3. Intersection.
    • Intersection (quelconque) de sous-groupes.
    • Intersection (quelconques) de sous-anneaux

Exercices

- Automorphismes intérieurs d'un groupe (G,*) et morphisme de (G,*) dans (Aut G, o) associé.
- Exercices 13.1, 13.2, 13.4 feuille 10 (calculs de limites de suites)
- Exercice 10 (suites définissant la moyenne arithmético-géométrique)

Devoirs à faire

- Distribution du DM 6: problème 1 à rendre le jeudi 22 janvier, problème 2 à rendre le lundi 26 janvier.
- Exercices à chercher : Feuille 11 exercices 3 et 7.

Question de cours

- Si (G1,*), et (G2,#) sont deux monoïdes associatifs, montrer que la loi produit est associative sur G1×G2

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Pour la colle de la semaine du 12 au 16 janvier, le chapitre 17 n'est au programme que pour les questions de cours et les énoncés de définitions et/ou de théorèmes. En revanche, aucun exercice ne portera sur ce chapitre: les exercices porteront uniquement sur les chapitres 15 et 16 (suites réelles).

Chapitre 17 - Groupes, anneaux et corps

• I. Groupes (démonstrations de quelques points laissés en suspens)
  • Détermination des sous-groupes de (Z, +): ce sont les ensembles de la forme aZ où a€N.
  • Exemple d'endomorphismes d'un groupe (G,#): les automorphismes intérieurs Phi_g: x-> g # x # g^{-1}.
  • La relation "être isomorphe à" est une relation d'équivalence sur toute ensemble de groupes.
    • l'application identité d'un groupe G est un automorphisme.
    • une composée de morphismes (respectivement: endomorphismes, isomorphismes, automorphismes) en est également un.
    • la bijection réciproque d'un isomorphisme Phi (respectivement: automorphisme) en est également un, appelé isomorphisme réciproque de Phi.
  • L'ensemble Aut G des automorphismes d'un groupe G est un sous-groupe de (S(G), o), groupe des permutations de G.
  • Exemple (justifié) d'anneau non commutatif : (R³,+, *) où * est définie par (x,y,z)*(x',y',z')=(xx', yy', xz'+zy').

Exercices

Feuille 10 (suites), exercices 1.h et 1.o (convergence et limites de suites données par leur terme général)

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Cours

Chapitre 17 - Groupes, anneaux et corps

• I. Groupes
  • 3. Morphismes de groupes.
    • Image par un morphisme de l'élément neutre, image du symétrique d'un élément
    • Définition du noyau d'un morphisme, de l'image d'un morphisme.
    • Image d'un sous-groupe par un morphisme.
    • Image réciproque d'un sous-groupe par un morphisme.
    • Vocabulaire: endomorphisme, isomorphisme, automorphisme.
    • Caractérisation de l'injectivité d'un morphisme à l'aide du noyau.
• II. Anneau
  • Définition d'un anneau (toujours avec un élément neutre pour la deuxième loi)
  • Définition d'un anneau commutatif.
  • Exemples usuels d'anneaux (commutatifs) de nombres.
  • Exemple d'anneau non commutatif.

Exercices

- Feuille 10 (suites), exercices 1.n, exercice 5.

Questions de cours

Dans les deux questions, (G1,#) et (G2, *) sont deux groupes, et Phi est un morphisme de G1 dans G2.
- Soit H2 un sous-groupe de (G2,*). Montrer que Phi^{-1}(H2) (image réciproque par Phi de H2) est un sous-groupe de (G1,#).
- Soit H1 un sous-groupe de (G1,#). Montrer que Phi(H1) (image directe par Phi de H1) est un sous-groupe de (G2,*).

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Cours

Chapitre 17 - Groupes anneaux et corps

• I. Groupes. 1. Définitions.
  • Définition d'un groupe abélien. 2. Sous-groupe.
  • Deux définitions équivalentes :
    • H, partie de G, est un sous-groupe de (G,#) si # induit par restriction une loi interne #_H sur H telle que (H,#_H) est un groupe.
    • H, partie de G, est un sous-groupe de (G,#) si H est non vide, stable par # et par passage à l'inverse pour la loi #.
  • (lemme) Caractérisation de l'élément neutre d'un groupe (unique élément idempotent).
  • Exemples de sous-groupes. 3. Morphisme de groupes.
  • Définition.
  • Image par un morphisme de l'élément neutre, image du symétrique d'un élément (démonstration non encore faite).

Exercice

Feuille 10 exercice 8 (exemples de sommes partielles de séries, convergence pour un terme général alterné, convergence usuelle en cas de "convergence absolue").

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Cours

Chapitre 16 - relation de comparaison pour les suites réelles

• Comparaison des suites de références.
  • Comparaison entre et (avec selon la position de a par rapport à 1.
  • Comparaison entre et .
  • Comparaison entre et .
  • Comparaison entre et .
• Passage à une puissance réelle (fixée) d'un équivalent entre suites à valeurs strictement positives.

Chapitre 17 - Groupes, anneaux et corps

• I. Groupes. 1. Définitions et exemples.
  • Définition d'une loi de composition interne (LCI) sur un ensemble E.
  • Exemples et contre-exemples dans des parties de C, dans R^3 (produit scalaire, produit vectoriel).
  • Définition de l'associativité d'une LCI. Exemples usuels et contre-exemple (soustraction, produit vectoriel)
  • Notation d'un composée de plusieurs termes pour une loi associative ("oubli" des parenthèses)
  • Notation multiplicative d'une loi associative. Notation x^n pour n€N* (définie par récurrence sur n) et x € E. Propriétés x^n x^m=x^{n+m}.
  • Définition de la commutativité d'une LCI.
  • Notation additive pour une loi associative et commutative. Notation nx pour n€N* (définie par récurrence sur n). Propriétés (n+m)x=nx+mx (plus propriétés analogues aux lois notées multiplicativement)
  • Définition (avec unicité si existence) d'un élément neutre pour un ensemble muni d'une LCI associative. Notations de l'élément neutre pour des lois respectivement notées additivement (0), et multiplicativement (1).
  • Exemples (dans des ensembles de nombres notamment).
  • Définition de l'inversibilité ou symétrisabilité d'un élément x d'un ensemble muni d'une loi associative ; définition (avec unicité si existence) du symétrique ou inverse. Notations multiplicative et additive du symétrique.
  • Symétrisabilité et symétrique d'un composé de deux éléments symétrisables (pour un ensemble muni d'une loi associative). Le vocabulaire suivant n'est pas au programme: magma, monoïde, monoïde unifère; bien que les notions sous-jacentes soient utilisées
  • Prolongement des définitions et des propriétés vues plus haut en notations additive et/ou multiplicative lorsque n et m sont des entiers relatifs (non nécessairement strictement positifs) pour des éléments x et y symétrisables.
  • Définition d'un groupe (nécessairement non vide par définition).
  • (S(E),o), ensemble des permutations d'un ensemble E muni de la composition, est un groupe.

Questions de cours

- Soit a>0. Croissance comparée entre ln n et n^a (l'élève pourra utiliser librement les résultats énoncés en terminale sur les fonctions réelles de la variable réelle, ainsi que le résultat de croissance comparée entre les a^n et les n^b).
- Soit (E,+) un ensemble muni d'une loi de composition interne associative et commutative, notée additivement. Montrer (en justifiant soigneusement) que pour tout entier strictement positif n, et tous éléments x,y de E, n(x+y)= nx+ny.

Exercices

- Feuille 10 (suites) : exercice 3 (application du théorème des gendarmes), exercice 6 (limite, finie ou infinie, d'une suite convexe).

Devoir

Interrogation de cours n°3 sur les suites (45min).

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Cours

Chapitre 16 - relations de comparaison pour les suites réelles.

• Domination.
  • Définition. Notation u=O(v).
  • Exemples.
  • Opération avec les relations de domination.
    • Somme de deux suites dominées par la même suite.
    • Multiplication par un scalaire.
    • Domination d'un produit de deux suites si l'une des deux suites est dominée.
    • Réflexivité et transitivité de la domination.
• Négligeabilité.
  • Définition (pour des suites ne s'annulant pas). Notation u=o(v).
  • Exemples.
  • Opérations :
    • Sommes : si u=o(w) et v=o(w), alors u+v=o(w)
    • Multiplication par un scalaire.
    • Produit de suites (u, v et w sont des suites) : si u=o(w), alors uv=o(vw).
    • « "pseudo"-Transitivité » : Si (u=O(v) et v=o(w)) ou (u=o(v) et v=O(w)) alors u=o(w).
• Suites équivalentes.
  • Définition (pour des suites ne s'annulant pas): notation u~v. Équivalence avec u-v=o(v).
  • ~ est une relation d'équivalence.
  • Équivalent d'un produit.
  • Mise en garde sur l'interdiction de sommer des équivalents.
• Comparaison des suites de références.
  • Convergence et limite éventuelle d'une suite en progression géométrique.
  • Règle de d'Alembert pour des suites positives.
  • Les théorème de croissance comparées seront abordés à la rentrée 2009

Exercice

- Feuille 10 exercice 4 (théorème de Césaro).

Question de cours

Règle de D'Alembert
- Soit u une suite strictement positive telle que u_{n+1}/u_n converge vers L > 1. Montrer que u diverge vers +oo.
- Soit u une suite strictement positive telle que u_{n+1}/u_n converge vers L < 1. Montrer que u tend vers 0.

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Cours

Chapitre 15 - suites réelles et complexes

• Limites d'une suites.
  • Variante du théorème des gendarmes: une suite minorée par une suite divergeant vers +oo diverge elle-même vers +oo.
  • Suites adjacentes.
    • Définition.
    • Théorème: deux suites u et v adjacentes convergent vers la même limite L. De plus pour tout n, u_n <= L <= v_n.
    • Théorème des segments emboîtés.
  • L'étude des suites récurrentes de la forme u_{n+1}=f(u_n) sera vue lors du chapitre sur les fonctions de la variable réelle.

Chapitre 16 - relation de comparaison pour des suites réelles

• Relation d'équivalence.
  • Définition d'une relation symétrique, d'une relation d'équivalence. Exemples.
  • Définition d'une partition d'un ensemble.
  • Correspondance entre partition et relation d'équivalence.

Exercices

- Feuille 10, exercice 1.a, 1.b, 1.c, 1.d, 1.e, 1.g (limites de quelques suites données par leur terme général).

Question de cours

- Théorème des suites adjacentes.

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Le pauvre professeur est tombé malade. Il a donc du faire dodo ce mardi... pas de cours de maths donc. Heureusement, les vacances arrivent !

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Chapitre 15 - suites réelles et complexes

• Limites d'une suites.
  • Suites de limite nulle et opérations.
    • Somme de deux suites de limite nulle.
    • Produit d'une suite de limite nulle avec une suite majorée. Produit par une constante d'une suite de limite nulle.
    • Suite majorée en valeur absolue par une suite de limite nulle. Théorème des gendarmes.
  • Opération sur les limites.
    • Somme de deux suites convergentes. Généralisation au cas de limite infinie en l'absence d'indétermination.
    • Produit de deux suites convergentes. Généralisation au cas de limite infinie en l'absence d'indétermination.
    • Composition d'une suite convergeant vers L par une fonction réelle f de la variable réelle continue en L. provisoirement admis.
  • Suites extraites.
    • Si f est une application strictement croissante de N dans N, alors f(n)>=n pour tout entier naturel n.
    • Définition d'une suite extraite.
    • Limite d'une suite extraite d'une suite convergente. Application à la démonstration de la divergence de la suite de terme général (-1)^n.
    • Si (u_n) est une suite telle que les suite extraites (u_{2p}) et (u_{2p+1}) convergent vers la même limite, alors (u_n) est convergente.
  • Suites monotones et limites.
    • Si (u_n) est une suite croissante et majorée, alors elle converge vers sa borne supérieure.
    • Si (u_n) est une suite croissante et non majorée, alors elle diverge vers +oo.
    • Énoncés analogues pour le cas de suites décroissantes.

Exercices

- Feuille 9, exercices 7, 8, 9, 10, 13.1, 13.3, 13.4, 13.5, 13.6.

Question de cours

- Une suite croissante et majorée converge vers sa borne supérieure.
- Une suite croissante et non majorée diverge vers +oo.
- Le produit d'une suite tendant vers 0 par une suite bornée converge également vers 0.

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Cours

Chapitre 15 - suites réelles et complexes
Seules des définitions de ce chapitre sont exigibles la semaine de colle du 14 au 18 décembre. Les exercices ne porteront que sur les deux chapitres précédents.

• Quelques définitions.
  • Suites (réelles) monotones.
    • Suites croissantes, décroissante, strictement croissante, strictement décroissante (deux définitions équivalentes pour chaque cas; exemple pour le cas d'une suite strictement croissante (i): "pour tout n,p, n<p => u_n<u_p", (ii): "pour tout n, u_n<u_{n+1}").
• Limite d'une suite.
  • Définitions et propriétés immédiates.
    • Définition de la convergence d'une suite (pour une suite à valeurs dans K=R ou C).
    • Définition de la limite d'une suite convergente (après en avoir montré l'unicité).
    • Équivalence entre : lim u_n=L, lim (u_n-L)=0 et lim |u_n-L|=0
    • Définition de la divergence vers +oo ou -oo d'une suite réelle.
    • Définition de limites infinies (et non-contradiction de cette définition avec les définitions de limite d'une suite convergente: unicité de la limite au sens large).
    • Définition de la divergence d'une suite.
    • Exemples simples (avec démonstration) de suites convergentes, de suites divergeant vers +oo, de suites divergentes et bornées.
    • Une suite qui diverge vers +oo n'est pas majorée (et propriété analogue avec -oo). La réciproque est fausse.
    • Équivalence des définitions d'une limite où la dernière inégalité (dans la définition quantifiée) est ou bien stricte, ou bien large.
    • Propriétés vraies "à partir d'un certain rang".
      • suites croissantes à partir d'un certain rang.
      • suites stationnaires (suites constantes à partir d'un certain rang)
      • une suite majorée (resp: minorée, bornée) à partir d'un certain rang est majorée (resp: minorée, bornée).

Exercices

- Feuille 9, exercices 11, 2 et 4.

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Cours

Chapitre 15 - suites réelles et complexes

• Quelques définitions.
  • Définition d'une suite réelle, d'une suite complexe.
  • Opérations sur les suites:
    • somme de deux suites.
    • produit de deux suites.
    • multiplication d'une suite par un scalaire.
  • Propriétés sur les opérations de suites.
    • structure de groupe (additif) abélien.
    • structure d'anneau commutatif.
    • structure d'espace vectoriel.
  • Suites majorées, minorées, bornées.
    • définition de "majorée", "minorée", "bornée" pour une suite réelle.
    • définition de "sup u" pour une suite réelle u (majorée ou non) et "inf u" pour une suite réelle u (minorée ou non).
    • définition (lorsqu'il y a existence) de "min u" et "max u" pour une suite réelle u.
    • définition de "bornée" pour une suite complexe.

Exercices

- Feuille 9 exercices 1 (propriétés usuelles de la fonction "partie entière"), 3.

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Cours

Chapitre 14 - N, Z, ensembles finis

• Ensembles finis.
  • Condition d'existence d'injection, surjection, bijection entre deux ensembles finis.
  • Coefficient binomiaux.
    • Définition de "p parmi n" (nombre de parties à p éléments d'un ensemble à n éléments)
    • Relation du triangle de Pascal. Démonstration ensembliste.
    • Écriture en terme de factorielles.
    • Relation "p parmi n"="n-p parmi n". Interprétation ensembliste.
  • Nombre d'injections entre deux ensembles finis.

Exercices

- Feuille 8, exercice 4 (détermination de bornes de quelques parties de R)
- Feuille 8, exercice 5: sup(A+B)=sup A+sup B si A et B sont deux parties de R. inf(-A)=-sup A.
- Un maximum est bien une borne supérieure.

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Cours

Chapitre 13 - R, N

• Densité de Q dans R.
  • Définition de la densité d'une partie A (de R) dans R à l'aide d'intersection avec des intervalles ouverts.
  • D est dense dans R.
  • Q est dense dans R.

Chapitre 14 - N, Z, ensembles finis
Remarque générale: la quasi-totalité des démonstrations ont seulement été esquissées. Certaines ont été sautées, quelques unes ont été démontrées sérieusement. Aucune démonstration n'est exigible, à l'exception de l'existence (et de l'unicité) de la division euclidienne dans N.

• Arithmétique dans Z
  • Divisibilité dans N et dans Z
    • Définition de "a divise b" (noté "a|b") dans N et dans Z
    • | est une relation d'ordre sur N.
  • Nombres premiers entre eux, nombres premiers.
    • Définition pour deux nombres donnés, d'être "premiers entre eux"
    • Définition d'un nombre premier.
    • Existence et unicité de la décomposition en produit de facteurs premiers d'un entier strictement positif (admis).
  • Division euclidienne dans N et dans Z.
    • Définition du quotient et du reste (existence et unicité).
  • Les notions de PGCD et de PPCM ne sont pas au programme de PCSI.
• Ensembles finis.
  • Définition intuitive: un ensemble E est fini si on peut en compter (c'est-à-dire: numéroter, énumérer) les éléments (en s'arrêtant): E={ x1; x2; ...; xn }.
  • Définition: Un ensemble E est fini s'il existe une bijection de ((1,n)) dans E. Un tel n est alors unique et est appelé Cardinal de E, et noté Card E.
  • Opération sur les ensembles finis.
    • Cardinal de l'union de deux parties finies et disjointes d'un ensemble E.
    • Cardinal de la réunion d'une famille finie de partie finies deux à deux disjointes de E.
    • Partie d'un ensemble fini.
    • Cardinal d'une union de deux parties finies non disjointes (relation dite "de Poincarré" ou "des quatre cardinaux").
    • Cardinal d'un Produit cartésien de deux ensembles finis.
    • Cardinal de l'ensemble des applications de E dans F, si E et F sont des ensembles finis.
    • Cardinal de l'ensemble des permutations de E (ou bijections de E sur E), où E est fini.
    • Cardinal de l'ensemble des parties de E, où E est fini.
    • Si deux ensembles sont en bijection, ils sont simultanément finis, et de même cardinal.

Exercices

- Exercice 5 feuille 7 (fonction indicatrice. Bijection entre l'ensemble des parties de E et l'ensemble des applications de E à valeurs dans {0;1}).
- Exercice 3 feuille 8 (ordre lexicographique sur un carré cartésien d'un ensemble totalement ordonné).

Question de cours

- Énoncer et démontrer un résultat donnant l'existence et l'unicité de la division euclidienne dans N.

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Cours

Chapitre 13 - N, R

• Intervalles de R
  • Définition de . Prolongement sur cet ensemble de l'ordre usuel sur R, ainsi que des opérations usuelles.
  • Définition de "sup A" et "inf A" lorsque A n'est pas bornée (et, avec ces définitions: prolongation de la propriété: "si N<sup A, il existe x€A tel que x>N" et des propriétés analogues), ou lorsque A=Ø
  • Démonstration du fait que tout convexe de R est un intervalle.

Exercices

- Feuille 7 (logique), exercices 10.6 et 10.5 (injectivité et image d'une application)
- Feuille 7 (logique), exercice 11.
- Feuille 8 (relation d'ordre), exercice 1.
- Feuille 8 (relation d'ordre), exercice 2 (relation d'ordre canonique sur les espaces de fonctions à valeurs dans un ensemble ordonné, ici R).

Exercice à faire

- pour lundi 8 décembre: feuille 8 exercice 3 (ordre lexicographique sur un carré cartésien d'ensemble ordonné).

Question de cours

- Soit C un convexe non vide de R. Montrer l'inclusion

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Devoir surveillé

Interrogation écrite n°2 (1 heure)

Cours

Chapitre 13 : N - R

• Partie entière d'un réel
  • Valeurs décimales approchées d'un réel.
    • Définition (avec existence et unicité) des valeurs décimales approchées par défaut et par excès d'un réel x à la précision 10^{-n}.
    • Propriétés usuelles sur les suites des valeurs décimales approchées par défaut et par excès d'un réel x fixé.
• Intervalles de R
  • Définition d'un intervalle de R. Les 11 types d'intervalles de R (dont Ø)
  • Définition d'un convexe de R.
  • Les intervalles de R sont les convexes de R (énoncé, mais pas encore démontré).

Questions de cours

Dans les trois demi-questions ci-dessous, x est un réel fixé, et (y_n)_n est la suite des valeurs décimale approchées par défaut de x, (z_n) est la suite des valeurs décimales approchées par excès de x.
- Demi-question : Démontrer que la suite (y_n) est croissante
- Demi-question : Démontrer que la suite (z_n) est décroissante
- Demi-question : Démontrer l'alternative suivante (n étant fixé): ou bien y_n=x=z_n, ou bien y_n < x < z_n et z_n=y_n+10^{-n}

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Cours

Chapitre 13 - N, R

• Partie entière d'un réel
  • Propriétés fondamentale de N (admises)
    • 0€N
    • tout entier naturel admet un unique successeur.
    • toute partie non vide de N admet un plus petit élément.
    • Corollaire: démonstration du principe de récurrence.
  • Partie entière d'un réel.
    • R est archimédien (admis).
    • Définition de la partie entière inférieure d'un réel x (existence et unicité)
    • Définition de la partie entirère supérieure.
  • Valeurs décimales approchées d'un réel.
    • Ensemble D des nombres décimaux.
    • Définition de la valeur décimale approchée par défaut (et par excès) d'un réel x à la précision 10^{-n}

Exercices

- Exercices 10.2 et 10.3 feuille 7.

Devoir à faire

- Distribution du DM 5 à rendre pour le lundi 15 décembre 2008.

Question de cours

Énoncer une proposition introduisant la définition de la partie entière d'un réel x. En démontrer l'existence (en connaissant le signe de x, signe du choix de l'examinateur) ainsi que l'unicité.

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Cours

Chapitre 12 - relation d'ordre, borne supérieure dans R

• Relation d'ordre.
  • Définition
    • Définition d'une relation binaire. Nombreux exemples (parmi lesquels: l'ordre usuel sur R, l'ordre usuel strict dans R) l'inclusion dans P(E).
    • Relation réflexive.
    • Relation transitive.
    • Relation antisymétrique.
    • Relation d'ordre.
    • Relation d'ordre strict associée à une relation d'ordre.
  • Relation d'ordre total
    • Définition.
    • Définition d'application croissante, décroissante, strictement croissante, strictement décroissante, monotone, strictement monotone.
    • Si (E, <=1) est un ensemble totalement ordonné, (F, <=2) un ensemble ordonné et f:E->F est strictement monotone, alors f est injective. Contre-exemple si l'ordre sur E n'est pas total.
• Majorant, minorant.
  • Définition d'un majorant (et d'un minorant) d'une partie A de R.
  • Définition d'une partie majorée, minorée de R.
  • Deux définitions équivalentes d'une partie A bornée de R:
    • A est majorée et minorée.
    • Il existe M'>0 tel que pour tout x€A, |x| <= M'
  • Définition d'une partie bornée de C (extrapolation de la "deuxième" définition précédente).
• Maximum, minimum:
  • Définition du maximum (resp: minimum) d'une partie A non vide de R (et unicité si existence)
  • Exemples.
  • Toute partie non vide et finie de R admet un maximum et un minimum (admis).
• Borne supérieure, borne inférieure.
  • Définition de la borne supérieure d'une partie non vide de R (plus petit majorant), de la borne inférieure (plus grand minorant).
  • Caractérisations usuelles de la borne supérieure.
  • Toute partie non vide et majorée de R admet une borne supérieure (admis).
  • Borne supérieure d'un intervalle ouvert )a,b(.

Exercices

- Feuille 7, exercices 4.2, 6.4, 6.5, 6.7, 6.13. 9.

Exercices à chercher

- Pour mardi 2 décembre: feuille 7 exercice 10.
- Pour jeudi 4 décembre: feuille 7 exercice 11.

Questions de cours

1. Soit (E, <=_1) un ensemble totalement ordonné, (F, <=_2) un ensemble ordonné, et f:E->F une application strictement croissante. Démontrer que f est injective. Énoncer un contre exemple dans le cas d'un ensemble de départ non totalement ordonné.
2. Prouver que la borne supérieure d'un intervalle ouvert )a,b( est b.

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Cours

Chapitre 11 - Applications

• Image réciproque d'une partie par une application.
  • Image réciproque d'une composée de deux fonctions.
  • Nombreux exemples (applications à valeurs réelles)
  • Lien entre équation cartésienne (d'une partie du plan affine) et la notion d'image réciproque.
• Image directe d'une partie.
  • Définition.
  • Image directe d'une composée.
  • Lien entre paramétrage (d'une partie du plan affine) et la notion d'image directe.
  • l'Image directe d'une réunion (est égale à la réunion des images directes).
  • Image directe d'une intersection (est incluse dans l'intersection des images directes).
  • Caractérisation de la surjectivité d'une application en terme d'image directe.
  • Image directe d'une bijection réciproque (cohérence de la notation f^{-1}(A))
  • Image directe d'une image réciproque (et image réciproque d'une image directe) d'une partie par la même application.
• Composée de bijections (et bijection réciproque d'une composée).

Exercices

Exercice 2.6 et 2.7 feuille 7 (logique): négation de la définition d'une borne supérieure et négation de la définition de la limite.
Exercice 4.1 (multiples propriétés équivalentes à l'inclusion entre deux parties fixées).
Exercice 6.1.
Exercice 8.

Exercices à chercher

Pour lundi 1er décembre: Feuille 7, exercices 4.2, 6.4, 6.5, 6.7, 6.9, 6.13.

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Cours

Chapitre 11 - Applications

• Surjections, injections, bijections.
  • Surjections.
    • Composée de deux surjections.
    • Si la composée g°f est surjective, g est surjective.
  • Injections.
    • Définition. Nombreux exemples.
    • Composée de deux injections.
    • Si la composée g°f est injective, f est injective.
  • Bijections.
    • Définitions équivalentes d'une bijection:
      • f:E->F est une bijection si f est injective et surjective.
      • f:E->F est bijective si il existe g:F->E telle que g°f=Id_E et f°g=If_F. Dans ce cas, g est unique, est notée f^{-1} et est appelée bijection réciproque de f.

• Image réciproque d'une partie par une application.
  • Définition de l'image réciproque d'une partie A de F, par une application f:E->F. Notation f^{-1}(F)
  • "Compatibilité" avec l'intersection quelconque, l'union quelconque, le passage au complémentaire.

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Cours

Chapitre 10 - Logique et ensembles

• Applications.
  • Restriction d'une application (au départ ou à l'arrivée). Prolongement d'une application
  • Représentation schématique d'une application (avec deux patates et des flèches).

Chapitre 11 - Applications

• Surjections, injection, bijection.
  • Surjection
    • Définition. Exemples nombreux (pour des fonctions usuelles)

Exercices

- Feuille 5 (géométrie dans l'espace) : ex 1.7 (équation cartésienne d'une perpendiculaire commune à deux droites)
- Feuille 7 (logique) : ex 1, 2 (sauf e et f), 3, 7.

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Cours

Chapitre 10 - Logique et ensembles

• Ensembles
  • La notion d'ensemble est intuitive (un ensemble est défini par la donnée des éléments qu'il contient)
  • appartenance, inclusion.
  • ensemble des parties de E.
  • condition d'égalité de deux ensembles (double inclusion)
  • réunion, intersection de deux parties, complémentaire.
  • définition de singleton, de paire (mise en garde sur la différence entre paire {x;y} et couple et (x,y))
  • produit cartésien d'ensembles.
  • l'ensemble vide
• Logiques
  • Notion de proposition.
    • Définition d'une proposition (elle est vrai ou elle est fausse, de manière exclusive)
    • Opération sur les propositions : "p et q", "p ou q", "non p" (relations de "composition" entre ces opérations). Table de vérité
    • Implication. Équivalence.
    • Proposition dépendant d'un paramètre: P(x)...
  • Quantificateurs.
    • Quantificateurs universel ("pour tout") et existentiel ("il existe").
    • Cas particulier des propositions avec quantificateur sur un élement appartenant à l'ensemble vide".
    • Relation entre négation (d'une proposition) et quantificateurs.
• Applications
  • Définition formelle d'une application (c'est-à-dire du graphe associé). Lien avec la définition intuitive. Cas où l'ensemble de départ ou l'ensemble d'arrivée est vide.
  • Définition d'une famille d'éléments de E indexée par I (c'est une application de I dans E "notée différemment"). Exemple où I=((1,n)) (intervalle d'entiers): "identification" entre E^I et E^n. Définition d'une suite d'éléments de E (cas où I=IN).
  • Réunion et Intersection quelconque d'une famille de parties de E. Lien avec le passage au complémentaire.
• Opération sur les applications.
  • Composition d'applications.
  • Application identité. Composition à gauche (ou à droite) avec l'application identité.
  • "associativité" de la composition.

Exercice

- Feuille 5 (géométrie dans l'espace): Ex 1.5 (équation d'un plan passant par trois points).
- Feuille 5 Ex. 1.6 (paramétrage de la perpendiculaire commune à deux droites dont on connaît une paramétrisation)

Devoirs à faire

- Feuille 7 (logique). Ex 1 et 2. Pour mardi 25 novembre.
- Feuille 5 Ex 1.7. Pour mercredi 26 novembre.

Questions de cours

- (demi-question): Écrire le contraire d'une phrase en français au choix de l'examinateur (exemple de phrase: "S'il fait beau, je vais à la pêche")
- (demi-question): Énoncer le contraire d'une proposition en symbole mathématiques (comportant des quantificateurs) du choix de l'examinateur.
- (demi-question): Complémentaire d'une intersection (ou d'une union, au choix de l'examinateur), de deux parties (ou d'une famille quelconque de parties, au choix de l'examinateur) de E (ensemble quelconque).
- (demi-question) Énoncé et démontration de l' "associativité" de la composition pour les applications.

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Devoir surveillé

Applications du cours :

• rayon et centre d'un cercle donné par son équation cartésienne dans l'espace de dimension 3.
• distance d'un point à une droite donnée par son équation cartésienne dans l'espace de dimension 3.

Exercice 1 : "réduction" d'une hyperbole donnée par son équation cartésienne (étude complète)
Exercice 2 : étude d'une courbe paramétrée (par des fonctions rationnelles): étude des branche asymptotiques, variations, tracé.
Problème 3 : problème des enveloppes d'une famille de droites, et deux exemples.

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Exercices

- Feuille 6 exercice 9 (orthoptique d'une ellipse)
- Feuille 5 exercice 5 (calcul du centre et du rayon d'un cercle donné par son équation cartésienne)
- Feuille 5 exercice 4 (géométrie dans l'espace: plans, droites avec un paramètre variable)

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Cours

Chapitre 9 - coniques

• Image d'un cercle (inclus dans un plan Q) par une projection orthogonale sur un plan P
  • lorsque P et Q sont perpendiculaires (fin)
  • lorsque P et Q sont sécant sans être perpendiculaires
• Revue des multiples relations entre l'équation réduite d'une ellipse et l'excentricité, les foyers, les directrices.
• Revue des multiples relations entre l'équation réduite d'une hyperbole et l'excentricité, les foyers, les directrices.

Exercice

- Feuille 6 exercice 5. (nature d'une conique définie par un polynôme du second degré à un paramètre).

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Cours

Chapitre 9 - coniques

• Définition d'une affinité d'un plan affine de rapport k>0 (k différent de 1).
• Image d'un cercle par une affinité.
• Image d'un cercle (inclus dans un plan Q) par une projection orthogonale sur un plan P
  • lorsque P et Q sont parallèles,
  • lorsque P et Q sont perpendiculaires (à terminer).

Exercice

- Feuille 6, exercice 8.1 (recherche du repère pour obtenir une équation réduite d'une conique donnée par une équation cartésienne de la forme P(x,y)=0)

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Cours

Chapitre 9 - coniques

• Coniques à centre (e différent de 1)
  • Les hyperboles (e>1)
    • Calcul de e à l'aide de a et b.
    • Équation des tangentes à l'hyperbole dans le repère réduit.
    • Cartérisation bifocale des hyperboles.
• Les paraboles (e=1)
  • Équation réduite.
  • Paramétrage.
• Équations de la forme P(x,y)=0 où P est un polynôme du second degré.
  • Nature de la conique (ou conique dégénérée) correspondante à l'aide du discriminant.
  • Détermination du centre (éventuel) de la conique à l'aide des dérivée partielles de P.
  • Détermination de la base dans lequel l'équation est réduite à l'aide de la base (u_theta,v_theta).

Exercices

- Feuille 6 exercice 2 (lieu de l'orthocentre du triangle OAM où A est fixé et M varie sur un même cercle de centre O).
- Feuille 6 exercice 8.1 début (détermination de la nature et du centre d'une conique donné par son équation cartésienne)

Question de cours

Soit une conique à centre générique (hyperbole ou ellipse: au choix de l'examinateur). Rappeler la forme de l'équation réduite, et faire un dessin en dessinant la courbe, les foyers, les directrices, les asymptotes éventuelles a, b, et c (qui est, au signe près, OF); donner une relation entre a, b et c. Donner une relation entre e et a et b.

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Cours

Chapitre 8 - géométrie dans l'espace

• Sphères de l'espace.
  • Intersection d'une sphère et d'un plan.
  • Intersection de deux sphères.

Chapitre 9 - coniques

• Généralités
  • Définition d'une conique d'excentricité e, de foyer F et de directrice D.
  • Équation cartésienne dans un repère de centre F dans lequel D a pour équation x=p/e (p>0: paramètre de la conique par définition).
  • Équation polaire dans le même repère.
• Coniques à centre (e différent de 1)
  • Équation dans un repère de centre O (translaté du repère précédent), dans lequel la conique a pour axes de symétrie les axes du repère et O pour centre de symétrie.
  • Les ellipses (0<e<1)
    • Équation réduite.
    • Équation paramétrée.
    • Relation entre a, b et c (a et b étant les longueurs des demi-grand-axe et demi-petit-axe, c=-OF)
    • Calcul de e à l'aide de a et b.
    • Équation des tangentes à l'ellipse.
    • Définition bifocale de l'ellipse.
  • Les hyperboles (e>1)
    • Équation réduite.
    • Équation paramétrée (avec des fonctions hyperboliques)
    • Relation entre a, b et c (a et b étant les longueurs des demi-grand-axe et demi-petit-axe, c=OF)
    • Équation des asymptotes.
    • Calcul de e à l'aide de a et b.
    • Définition d'une hyperbole équilatère.

Exercice

- Feuille 6 (géométrie dans l'espace): exercices 1.1, 1.2, 1.3 et 1.4.

Devoir maison

- Devoir maison n°4, à rendre pour le lundi 24 novembre (section planes d'un cône de révolution dans un repère bien choisi).

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Cours

Chapitre 8 - géométrie dans l'espace

• Plans dans l'espace: équation normale d'un plan, distance d'un point à un plan.
• Droites de l'espace
  • définition d'une droite:
    • à l'aide d'un point et d'un vecteur directeur
    • à l'aide de deux points
    • comme intersection de deux plans non parallèles
  • équation cartésienne d'une droite
  • équation paramétrée d'une droite
  • projeté orthogonal sur une droite. Détermination du projeté à l'aide d'un produit scalaire, ou d'un (double) produit vectoriel. Démonstration de l'identité du double produit vectoriel.
  • distance d'un point à une droite donnée par un point et un vecteur directeur.
• Sphères de l'espace
  • définition d'une sphère à l'aide d'un point et d'un rayon
  • équation cartésienne
  • intersection d'une droite et d'une sphère.

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Cours

Chapitre 8 - géométrie dans l'espace

• Déterminant (ou produit mixte) de trois vecteurs: antisymétrie, interprétation géométrique (volume d'un parallélépipède), condition de coplanarité de trois vecteurs.
• Plans dans l'espace:
  • description d'un plan:
    • à l'aide d'un point et d'un vecteur normal non nul,
    • à l'aide d'un point et de deux vecteurs directeurs non colinéaires,
    • à l'aide de trois points non alignés.
  • équation cartésienne.
  • projeté orthogonal H d'un point M sur un plan P: définition (minimisant une distance), caractérisation (via une propriété d'orthogonalité), expression du vecteur HM à l'aide de produit scalaire et d'un vecteur normal, ou à l'aide de produit mixte et de deux vecteurs directeurs.
  • distance d'un point M à un plan P
    • à l'aide d'un vecteur normal (et de produit scalaire)
    • à l'aide de deux vecteurs directeurs (et de produit mixte et produit vectoriel)
    • à l'aide des coordonnées cartésiennes de M et de l'équation cartésienne de P
  • équation paramétrique d'un plan en coordonnées cartésiennes (à l'aide d'un point et de deux vecteurs directeurs).

Exercice

Étude et tracé d'une courbe donnée par son équation polaire (lemmiscate de Bernoulli)

Question de cours

Projeté orthogonal sur un plan: Soit P un plan affine de l'espace, et M un point de l'espace affine (de dimension 3). Montrer qu'il existe un unique point H de P tel que MH<=MN (longueurs) pour tout N dans P, et que ce point H est caractérisé par MH (vecteur) est orthogonal à P. Donner une expression de MH en fonction d'un point A de P et d'un vecteur normal n de P

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Cours

Chapitre 8 - géométrie dans l'espace

• L'ensemble des vecteurs de l'espace (de dimension 3) est muni d'une base orthonormale directe (i,j,k), et l'ensemble des points de l'espace d'un repère (O,i,j,k)
• Repérage dans l'espace:
  • coordonnées cartésiennes
  • coordonnées cylindriques
  • coordonnées sphériques.
• Produit scalaire (équivalence admise des définitions géométrique et analytique): bilinéarité, symétrie, caractère défini positif, condition d'orthogonalité, coordonnées d'un vecteur dans une base orthonormale.
• Produit vectoriel (équivalence admise des définitions géométrique et analytique): bilinéarité, anti symétrie, condition nécessaire et suffisante de colinéarité de deux vecteurs, interprétation géométrique de la norme du produit vectoriel (aire d'un parallélogramme)
• Déterminant (ou produit mixte) de trois vecteurs; par définition: Det(a,b,c)=(a ^ b) . c. Famille liée de trois vecteurs (ou coplanarité). Règle de calcul en base orthonormée (règle de Sarrus), notation du déterminant dans un tableau 3*3.

Exercice

Tracé d'une courbe paramétrée en polaire.

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Exercice

- Exercice 7 feuille 4 : résolution d'équations différentielles de type Euler (changement de variable x=exp(t)).
- Étude d'une courbe paramétrée (avec asymptotes)

Cours

Chapitre 7 - courbes paramétrées

• Étude d'une courbe paramétrée en coordonnées polaires (par l'angle)
  • branches infinies en un paramètre réel (cas d'asymptote, de branche parabolique)
  • branches infinies en l'infini: cercle asymptotique, point asymptotique, spirale partant à l'infini.
  • vecteur directeur de la tangente en l'origine.
  • vecteur directeur de la tangente ailleurs qu'en l'origine: si V est l'angle entre le vecteur polaire u_theta et le vecteur directeur de la tangente, tan V=F/F' (où F est la fonction dans le paramétrage rho=F(theta)).

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Exercice

Exercice: utilisation théorique de la forme de la solution d'une équation différentielle du premier ordre (pour trouver une propriété sur f en connaissant une propriété sur f+f')

Cours

Chapitre 7 - courbes paramétrées

• Exemple de recherche d'asymptotes à une courbe paramétrée et de point double.
• Équation de la tangente en un point à une courbe paramétrée en coordonnées cartésiennes.
• Courbe paramétrée en polaire.
  • Définition.
  • Expression du vecteur dérivé (vecteur directeur de la tangente quand celui-ci est non nul).
  • Réduction du domaine d'étude d'une courbe paramétrée en coordonnées polaires sur la forme (invariance par rotation, par symétrie d'axe passant par l'origine...).

Question de cours

Étude d'une courbe paramétrée en coordonnées cartésiennes au choix de l'examinateur, comprenant les éléments suivants:
1. Détermination du domaine de définition.
2. Réduction du domaine d'étude
3. Recherche de points doubles(à préciser explicitement à l'élève si cette recherche est pertinente et nécessaire).
4. Recherche et étude des branches infinies (branches paraboliques d'axe Ox, ou Oy, asymptotes, position de la courbe par rapport à l'asymptote).
5. Tableau de variations simultanées des fonctions coordonnées.
6. Tableau de valeurs (permettant le tracé d'un point et de "sa" tangente).
7. Tracé.
L'étude de points singuliers (ou stationnaires) est hors programme.

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Exercice

• Étude d'une équation différentielle linéaire d'ordre 1 avec raccord.
• Détermination d'une équation polaire (dans un repère convenablement choisi) de l'ensemble des points M tels que MA MB MC= R^3 où ABC est un triangle équilatéral inscrit dans un cercle de rayon R.

Cours

Chapitre 7 - courbes paramétrées

• Étude des branches infinies d'une courbe paramétrée en coordonnées cartésiennes: branche infinie, direction asymptotique, branche parabolique d'axe Ox ou d'axe Oy, asymptote, position de la courbe par rapport à l'asymptote.

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Exercice

Résolution de l'équation x y'(x)=n y(x) suivant la valeur du paramère réel n (étude du raccord en 0)

Cours

Chapitre 7 - courbes paramétrées

• Dérivée d'un produit d'une fonction à valeurs réelles avec une fonctions à valeurs dans le plan vectoriel.
• Dérivée d'une fonction à valeurs dans le plan affine.
• Tangente: définition, cas de point régulier (ie: où F' ne s'annule pas): vecteur directeur.
• Définition de courbe asymptote à une courbe paramétrée (étant supposé connue la notion de distance à une partie, notion sur laquelle on n'insistera pas). Exemple d'une courbe asymptote à une parabole.
• Étude d'une courbe paramétrée en coordonnées cartésienne:
  • domaine de définition.
  • réduction du domaine d'étude: symétries d'axe {x=x_0} ou {y=y_0} ou {y=x}, ou symétrie centrale de centre quelconque.
  • recherche des points singuliers (l'étude des points singuliers est provisoirement hors programme)
  • recherche de points doubles.
  • tableau de variations et tableau de valeurs.

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Devoir surveillé N°3 (en 4 heures). L'énoncé est téléchargeable sur la page PcsiMathematiques.

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Cours

Chapitre 6 - nombre complexes et géométrie plane

• expression de l'argument d'un complexe z=x+iy à l'aide de Arcsin (si y>0), Arccos et Arctan (si x>y), 2Arctan (si z n'est un pas réel négatif.

Chapitre 7 - courbes paramétrées

• Définition d'une courbe paramétrée (ou arc paramétré): application d'un intervalle I à valeurs dans le plan affine. Courbe paramétrée en coordonnées cartésienne, ou en coordonnées polaires.
• Définition de la notion de limite pour une application à valeurs vectorielles (équivalence de la définition avec la norme, ou avec les applications coordonnées), de la dérivabilité (et de la dérivée).
• Dérivée d'une somme, d'un produit par un scalaire, d'un produit scalaire, d'un déterminant.

Question de Cours

Soit une application bilinéaire telle que pour tout . Montrer que (sous réserve d'existence du membre de droite), puis que si sont dérivables en , il en est de même de ...

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Exercice

Feuille 4 (équations différentielles), exercice 3.5 (résolution d'un problème de Cauchy d'ordre 2 avec un second membre produit sinus*polynome).

Cours

Chapitre 6 - nombres complexes et géométrie plane

• Le plan de vecteur est muni d'une base (i,j), et le plan affine du repère (O,i,j). Notion d'affixe d'un point, d'un vecteur. Expression à l'aide d'affixe du produit scalaire et du Déterminant.
• Expression de la distance à l'aide d'affixe et de modules.
• Expression d'une rotation, d'une homothétie, d'une similitude directe, de la symétrie d'axe (Ox) en termes d'affixes.

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Exercices

Feuille 3 (géométrie plane), exercice 2 (fin).
Feuille 4 (équations différentielles), exercices 1.1, 1.3 et 1.4.

Cours

Chapitre 5 - Équations différentielles

• Solution générale d'une équation différentielle homogène du second ordre à coefficients constants: forme complexe (avec démonstration) et forme réelle des solutions (énoncée).
• Recherche d'une solution particulière lorsque le second membre est de la forme P(x)exp(ax) ou P(x) exp(ax)[A cos(bx)+ B sin(bx)]. (énoncés non démontrés).

Informatique

Dérivation de fonctions et résolutions d'équations différentielles, ou de problèmes de Cauchy, en Maple: utilisation des commandes: D, diff, dsolve.

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Exercices

Feuille 3 (géométrie): exercices 7 et 8, et 2 (début).

Cours

Chapitre 5 - Équations différentielles

• Résolution d'un équation différentielle linéaire du premier ordre: recherche d'une solution particulière (méthode de variation de la constante).
• Principe de superposition des solutions pour une équations différentielle linéaire.
• Résolution d'un problème de Cauchy (exemple détaillé).
• Équations différentielles linéaires homogènes du second ordre à coefficients constants: recherche de solutions particulières de la forme x->exp(r x)

Interrogation de cours n°1

Énoncé téléchargeable sur la page PcsiMathematiques. Durée: 1h.

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Exercices

Feuille d'exercice 3: Exercices 1.1 1.2, 1.3, et 5.

Cours

Chapitre 5 - Équations différentielles

• Généralités sur les équations différentielles: notion d'équation fonctionnelle, définition d'une équation différentielle (exemples), définition d'une solution globale, d'un solution maximale. Ordre d'une équation différentielle. Problème de Cauchy d'ordre 1 et d'ordre 2. Équation différentielle linéaire (définition).
• Équations différentielles linéaire du premier ordre. Description de l'ensemble des solutions d'une équation différentielle homogène de la forme y'+a(x)y=0. Existence et unicité de la solution d'un problème de Cauchy homogène d'ordre 1.

Question de cours

Soit a une fonction continue sur un intervalle I. Déterminer (avec démonstration) l'ensemble des solutions de l'équation différentielle y'+a(x)y=0.

Informatique

Utilisation des commandes nops, op. Écriture d'un programme qui, à une liste donnée par l'utilisateur en entrée, affiche le troisième élément de la liste et qui, si l'entrée n'est pas une liste ou a moins de trois éléments, renvoie un message d'erreur personnalisé.

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Cours

Chapitre 4 - fonctions à valeurs complexes

• Opération sur les fonctions continues à valeurs complexes: multiplication par un complexe, somme, produit, Composition à droite par une fonction continue à valeurs réelles.
• Dérivabilité de fonctions à valeurs dans C. Équivalence avec la dérivabité des parties réelle et imaginaire. Opération sur les fonctions dérivables (les mêmes que pour les fonctions continues).
• Dérivabilité et dérivée de où est une fonction à valeurs complexes. Cas particulier: dérivation de où .

Questions de cours

Soient f et g deux fonctions définies sur un intervalle I, à valeurs complexes, et x0 € I. On suppose que f et g sont continues en x0. Montrer que fg est continue en x0 (les propriétés usuelles de continuité et de limite pour les fonctions à valeurs réelles peuvent être librement utilisées).

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Exercice

Feuille 3, exercice 3.a et 3.b début

Cours

Chapitre 3 - Géométrie plane

• Lignes de niveau. Notions de ligne de niveau d'une application. Lignes de niveau de

et .
Chapitre 4 - Fonctions de la variable réelle à valeurs complexes

• Définition de Re f, Im f et si f est une fonction à valeurs complexes.
• Définition de la notion de limite pour une fonctions à valeurs complexes. Équivalence des définitions à l'aide du module d'une différence ou à l'aide des parties réelle et imaginaire.

Question de cours

Dans les deux questions, A est un point du plan et v un vecteur non nul fixé. Les applications sont définies sur le plan affine et à valeurs réelles.
1. Montrer que les lignes de niveau de l'application M->AM . v (produit scalaire) sont les droites de vecteur normal v.
2. Montrer que les lignes de niveau de l'application M->Det(AM, v) sont les droites de vecteur directeur v.

Devoirs à faire

Pour jeudi 9 octobre: terminer l'exercice 3 (recherche de l'équation du cercle circonscrit à un triangle).

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Exercice

Calcul de l'expression du projeté orthogonal sur une droite donnée d'un point quelconque.

Cours

Chapitre 3 - géométrie plane

• Cercles. Définition (par le centre et le rayon). Caractérisation des équations polynomiales du second degré qui sont des équations cartésiennes de cercles. Équation polaire d'un cercle passant par l'origine. Équation paramétrée d'un cercle. Lieu des points M tels que (produit scalaire de deux vecteurs). Intersection d'une droite et d'un cercle. Intersection de deux cercles.
• Calcul de l'aire d'un parallélogramme et d'un triangle à l'aide du déterminant.

Devoirs

À chercher pour mardi 7 et mercredi 8 octobre: Feuille 3, exercice 1.4, exercices 3 et 5.

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Exercices

Feuille 3, exercice 3.5: passage entre diverses définitions d'une droite donnée (vecteur directeur, vecteur normal, équation cartésienne, équation polaire), calcul du projeté orthogonal d'un point sur une droite.

Cours

Chapitre 3 - Géométrie plane

• Lien entre équation cartésienne d'une droite et vecteur directeur/normal.
• Équation polaire d'une droite (passant et ne passant pas par l'origine)
• Notion d'équation paramétrée d'une partie du plan (paramétrage géométrique, paramétrage en coordonnée, paramétrage en coordonnées polaires). Les équations cartésiennes de la forme y=f(x) ou les équation polaire de la forme peuvent être vues comme des équations paramétrées (respectivement en cartésiennes et en polaires).
• Équation paramétrée d'une droite (paramétrage géométrique & paramétrage en coordonnées cartésiennes) à l'aide d'un point et d'un vecteur directeur.
• Projeté orthogonal sur une droite. Expression du projeté. Expression de la distance d'un point à une droite à partir de produit scalaire, d'un point et d'un vecteur normal, et à partir de l'équation cartésienne.
• Équation normale d'une droite.

Questions de cours

1. Étant donné une droite D dont on donne l'équation cartésienne et un point A quelconque, trouver l'équation polaire de D, calculer (en appliquant une formule du cours) la distance de A à D et calculer indépendamment les coordonnées du projeté orthogonal de A sur D L'équation de D et les coordonnées de A sont choisis par l'examinateur (à qui il n'est pas interdit d'intégrer cette question de cours à un exercice).
2. Même question en inversant "équation polaire" et "équation cartésienne".

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Exercice

Exercice 4 feuille 3 (utilisation de l'associativité du barycentre).

Cours

• Produit scalaire (équivalence admise, entre les définitions, géométrique d'une part et à l'aide des coordonnées dans une base orthonormale d'autre part). Bilinéarité, symétrie, caractère défini-positif.
• Coordonnées polaires d'un point. Notion d'équation polaire.
• Déterminant dans une base orthonormale (équivalence démontrée des définitions, géométrique d'une part et à l'aide des coordonnées dans une base orthonormale d'autre part). Bilinéarité, symétrie, condition de colinéarité de deux vecteurs à l'aide du déterminant.
• Coordonnées d'un vecteur dans une base orthonormale.
• Définition d'une droite (à l'aide d'un point et d'un vecteur directeur). Conditions pour que la données de deux couples points-vecteurs définissent la même droite. Équation géométrique d'une droite, à l'aide du Déterminant et d'un vecteur directeur, et à l'aide du produit scalaire et d'un vecteur normal.

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Exercices

- Feuille 2 : exercices 3.1 et 9.

Cours

Chapitre 3 - géométrie plane

• déterminant d'un système linéaire 2×2. Formules de Cramer.
• déterminant dans une base du plan (fixée) d'une famille de deux vecteurs.
• coordonnées cartésiennes d'un points (une base étant fixée). Notion d'équation cartésienne.

Devoir à faire

- exercice 4 feuille 3, pour le mercredi 1er octobre.

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Exercices

- Feuille 2, exercices 2.6, 2.7, 2.8, exercice 5, exercices 4.2 et 4.3

Cours

Chapitre 3 - géométrie plane

• Ensemble des vecteurs du plan vectoriel (et de l'espace): structure d'espace vectoriel.
• Ensemble des points du plan affine (et de l'espace de dimension 3): structure d'espace affine, relation de Chasles.
• Définition du barycentre.
• Définition de la colinéarité de deux vecteurs. Définition d'une base (de deux vecteurs). Par définition, le plan admet une base de deux vecteurs. Dans ce cas, toute famille de deux vecteurs non colinéaires est une base.

Questions de cours

- Énoncer les propriétés qui font de l'ensemble des vecteurs du plan un espace vectoriel sur R
- Énoncé et démonstration d'une proposition introduisant le barycentre d'une famille de points pondérés

Devoirs à faire

- Feuille 2 exercice 3.1

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Devoir surveillé n°2 (4h).

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Exercices

Feuille 2: exercice 5.1 (expression de Argsh à l'aide des fonctions usuelles), exercice 2.2 et 2.4 (résolution d'équations à partir de fonctions usuelles), exercice 1 (calcul du nombre de chiffres de E(e^2007))

Cours

Chapitre 2 - fonctions usuelles

• Fonction Argsh: ensemble de définition, caractère C¹ sur R, expression de la dérivée, graphe.
• Fonction Argsh: ensemble de définition: [1, +oo[, caractère C¹ sur ]1, +oo[, expression de la dérivée, graphe.
• Fonction Argth: ensemble de définition: ]-1,1[, caractère C¹, expression de la dérivée, graphe.

Devoirs à faire

- distribution du DM 2, à rendre le lundi 6 octobre.
- à faire pour lundi 29 septembre: feuille 2 exercices 5.2, 5.2, 2.1, 2.3, 2.5, 2.6, 2.8, 5.4 et 5.5

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Exercice

Étude et tracé de la fonction x-->Arcsin(sin x)

Cours

Chapitre 2 - fonctions usuelles

• Fonction exponentielle de base e (par définition: difféomorphisme réciproque du logarithme népérien): expression de la dérivée, renvoi au cours de terminale pour les propriétés.
• Fonction exponentielle de base a (notation ). Dérivation de fonctions de la forme .
• (Co)Sinus hyperbolique: étant donné une fonction f définie sur R et à valeurs réelles, existence et unicité (avec les expressions) d'un couple (f_p,f_i) tel que f=f_p+f_i, f_p est paire et f_i est impaire. Définition de sh et ch. Expression des dérivées, variations, graphe. Relation ch^2-sh^2=1. Relation ch(a+b)=... sh(a+b)=... (ces deux dernières relations ne sont pas au programme officiel de PCSI).
• Tangente hyperbolique: étude générale, imparité, dérivée, tableau de variations, graphe.

Question de cours

Étant donné une fonction f définie sur R à valeurs réelles, démontrer l'existence et l'unicité d'un couple (fp,fi) où fp est une fonction paire (définie sur R), fi est une fonctions impaire, vérifiant f=fp+fi

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Exercices

Feuille 0, exercice 11: Primitivation de fonctions formées à partir de fonctions trigonométrique.
Méthode de primitivation de fonction de la forme (selon les parités de p et q)
Feuille 1, exercice 17: résolution de l'équation d'inconnue z: (1+ iz)^3 (1- i tan a)=(1- iz)^3(1+i tan a)

Cours

Chapitre 2 - fonctions usuelles

• Graphe de la fonction Arctan.
• Graphe de la fonction ln.
• Définition du logarithme en base a (a>0 et a différent de 1)
• Lien entre le logarithme décimal (logarithme de base 10) et le nombre de chiffres avant la virgule d'un décimal.

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Exercices

Feuille 0. Exercices 10.4, 10.5 et 10.6 (dérivation de fonctions formées à l'aide de fonctions trigonométriques).
Linéarisation de .

Cours

Chapitre 2 - fonctions usuelles

• La fonction Arctan. Définition, caractère C¹ sur R, expression de la dérivée, identité Arctan(x)+Arctan(1/x)=..., identité Arctan(x)+Arctan(y)=... (deux preuves pour chaque identité: l'une en étudiant une fonction de la variable réelle de dérivée nulle, l'autre en inversant une identité connue sur les formules de trigonométrie).
• La fonction ln (logarithme népérien): Définition (primitive sur R*+ de la fonction inverse), propriétés vis-à-vis du produit, de la puissance.

Question de cours

Pour x réel et y>0 tels que xy<1. Donner une expression de Arctan x + Arctan y, dans une preuve (au choix de l'examinateur) qui "inverse" la formule tan(a+b)=..., ou bien en étudiant une fonction réelle de la variable réelle appropriée.

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Exercices

- Feuille 1 exercice 7 (résolution de l'équation exp(z)= i e Re(z))
- Feuille 0 exercice 10.1, 10.2, et 10.3 (dérivation de fonctions composées à l'aide de fonctions trigonométriques)

Cours

Chapitre 2 - fonctions usuelles

• La fonction Arcsin: définition, imparité, continuité sur [-1,1] (définition d'un homéomorphisme entre intervalles de R, et caractérisation - admise - par la continuité et stricte monotonie), caractère C¹ sur ]-1,1[, expression de la dérivée, tableau de valeurs, courbe représentative.
• La fonction Arccos: définition, continuité sur [-1,1], caractère C¹ sur ]-1,1[, expression de la dérivée, tableau de valeurs, courbe représentative.
• Quelques relations liant Arcsin et Arcos: (deux démonstrations).
• Simplification (sous les bonnes hypothèses) de tous les exemples possibles de composée (dans un sens comme dans l'autre) d'une fonction trigonométrique (sin et cos) avec une fonction trigonométrique réciproque (Arcsin et Arcos).

Devoirs à faire pour lundi 21 septembre

- Étude et graphe des fonctions Arcsin°sin (composée) et Arccos°cos
- Feuille 0 exercices 10.4, 10.5, 10.6 et 10.7 (dérivation de "composées" de fonctions trigonométriques)
- Feuille 0 exercice 11.1, 11.2 et 11.3 (primitivation de quelques "composées" simples de fonctions trigonométriques)

Question de cours

Énoncer avec précision deux propositions-définitions introduisant respectivement la fonction Arcsin et la fonction Arccos

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Exercices

Feuille 1 exercice 6.

Cours

Chapitre 2 - fonctions usuelles

• Étude de la fonction tangente (dont quelques formules de trigonométrie, notamment celles de l'arc moitié)

Question de cours

Développement de tan(a+b), factorisation de tan(a)+tan(b), formules de l'arc-moitié: expression de cos(a), sin(a) et tan(a) à l'aide de t=tan(a/2)

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Exercices

Feuille 1 exercices 2.b, 5, 10.

Cours

Chapitre 2

• Étude des fonctions sinus et cosinus (démonstration en cascade de toutes les formules du formulaire de trigonométrie à partir des formules admises donnant cos(a+b) et sin(a+b) en fonction de cos a, cos b, sin a, sin b).

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Exercices

Feuille 0 exercice 14 et 2.a. Feuille 1 exercices 2.a et 13.

Question de cours:

(Exercice 14 feuille 0). Soit f:R-->R et w>0 (w="oméga"). Montrer l'équivalence des trois propriétés suivantes:
(i) Il existe A et B réels tels que pour tout réel t, f(t) = A cos(wt) + B sin(wt)
(ii) Il existe C et D complexes tels que pour tout réel t, f(t) = C exp(iwt) + D exp(-iwt)
(iii) Il existe K>0 et phi réel tels que pour tout réel t, f(t) = K cos( wt - phi)
L'interrogateur demandera à l'élève de montrer (i)=>(iii), ainsi qu'une des implications suivantes, au choix de l'interrogateur: (i)=>(ii), (ii)=>(i), (iii)=>(i)

Cours

Chapitre 1 - complexes.

• Exponentielle complexe et propriétés (en particulier exponentielle d'une somme de n éléments).

Chapitre 2 - fonctions usuelles

• Paragraphe préliminaire: (la notion "utilitaire" de continuité est supposée connue).
• Rappel sur la dérivabilité, et le comportement de la dérivation vis-à-vis des opérations usuelles.
• Définition d'une bijection, d'une application de classe C¹, d'un C¹-difféomorphisme, théorème du C¹-difféomorphisme (admis).

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Informatique (groupe C)

- Exemple (au tableau) de programme informatique, en langage "français" et en Maple: programmation de l'algorithme de Syracuse.

Exercices

- montrer que .
- Résolution d'un trinôme à coefficients complexes.
- Feuille 1 exercice 18 (exemple d'homographie de U sur R).
- Résolution de l'équation .
- À chercher pour lundi 15 septembre: Feuille 1 exercices 2.a, 5, 8, 10 et 13.

Cours

Chapitre 1 - complexes

• Résolution d'un trinôme à coefficients complexes.
• Discriminant réduit.
• Relations coefficients-racines pour un trinôme (somme et produit des deux racines).

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Exercices

Feuille 1, exercice 9 (inégalité triangulaire généralisée),
Feuille 0 exercice 3.a (encadrement et produits, quotients et différences).
À chercher pour jeudi 11 septembre: Feuille 0 exercices 3.b et 3.c (inégalités), et 14 (équivalence de plusieurs expressions pour des polynômes trigonométriques de degré 1)

Cours

Chapitre 1- complexes

• Racines n-ièmes d'un complexes.
• Racines n-ième de l'unité (et somme des racines n-ièmes de l'unité); cas n=3 (le complexe j).
• Calcul algébrique des racines carrées d'un complexe non nul.

Question de cours

Énoncé et démonstration de la propriété concernant le nombre de racines n-ièmes z d'un complexe Z

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Exercices

Feuille 0: fin de l'exercice 7 (équations et inéquations trigonométriques).

Cours

Chapitre 1 - complexes

• Groupe unitaire U des complexes de module 1.
• Exponentielle imaginaire pure et propriétés.
• Forme polaire d'un complexe.

Distribution du devoir maison 1, à rendre pour jeudi 18 septembre

Informatique

- présentation du langage Maple (au tableau).
- quelques exemples de procédures classiques.

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Exercices

Feuille 0:
- Exercices 4.j à 4.n, 5.a, 5.b.
- Résolutions d'équations de la forme , d'inéquations de la forme et .

Cours

Chapitre 1 - complexes

• Conjugué d'un complexe et propriétés.
• Valeur absolue d'un réel et propriétés.
• Inégalité triangulaire réelle.
• Module d'un complexe et propriétés.
• Inégalité triangulaire complexe.

Questions de cours:

- Énoncé et démonstration de l'inégalité triangulaire dans .
- Énoncé et démonstration inégalité triangulaire dans .

Devoir

Interrogation écrite: formules de trigonométries et (in)équations trigonométriques (30 min).

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Exercices

- Correction des exercices suivants de la feuille 0: 12, 4.a à 4.i, 7.a.
À faire pour lundi 8 septembre: exercices 4.j à 4.n, 5.a et 5.b, 7.b à 7.d.

Informatique

Présentation générale (1/2h) de l'informatique en classes prépas.

Cours

Chapitre 0 - chapitre préliminaire

• Quelques sommes classiques (somme des n premiers entiers, des n premiers carrés, des n premiers cubes).
• Double sommation (et intervertion des doubles sommations, justifiée par une sommation sur les lignes ou sur les colonnes des éléments d'un tableau), et cas particulier: .

Chapitre 1 - complexes.

• Définition de l'ensemble C (par définition, un complexe est un couple de réels) et des lois + et ×.
• Structure de corps.
• Conjugaison (et propriétés).
• Inclusion canonique de R dans C.
• Écriture algébrique d'un complexe (z=x+iy).

Question de cours

Énoncé intégral de l'ensemble des propriétés conférant à (C,+,×) la structure de corps.

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Cours

Chapitre 0 (préliminaire).

• Inégalités et propriétés usuelles.
• Symboles de somme et de produit et propriétés (linéarité de la somme, changement d'indice).
• Formule du binôme de Newton
• Identité , somme de termes en progression géométrique.

Question de cours

Énoncé et démonstration de la formule du binôme de Newton.

Categories

CahiersDeTexte - - -

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